解三角形教学设计
四川泸县二中吴超
教学目标
1.知识与技能
掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。
2.过程与方法
通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。
3.情感态度价值观
培养转化与化归的数学思想。
教学重、难点
重点：正、余弦定理的应用
难点: 正、余弦定理的实际问题应用
拟解决的主要问题
这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。
重点突出三类问题：
（1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用
（2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用
（3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开
教学流程
教学过程
一、知识方法整合
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 = = =
2、三角形面积公式：C S ∆AB = = =
3、余弦定理：C ∆AB 中2a = 2b = 2c =
4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语
5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等
二、典例探究
例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用）
如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法）
解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式
解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即152
CDE CD EC ED =∆==1解：中，，，222310210EC ED CD EC ED +-∠•∴=cos CED 101102-∴∠∠sin CED cos CED 0215135CD EC EDC ==∠=解：，， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠
sin 1010CD EDC EC •∠∴∠=sin CED
有cos A ≥12，所以角A 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，π3，选择C.
解2：∵sin 2A=sin 2(B+C)=[sinBcosC+cosBsinC] 2
=sin 2Bcos 2C+2sinBsinCcosBcosC+cos 2Bsin 2C ≤sin 2B+sin 2C-sinBsinC
∴sinBsinC （1+2cosBcosC ）≤2sin 2B sin 2C1+2cosBcosC ≤2sinB sinC(sinBsinC ≠0)
2(cosBcosC-sinB sinC)+1= 2cos(B+C)+1≤0∴cosA≥12， A ∈ ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，π3 小结：已知两边和一边对角或已知两角一边用正弦定理；已知两边及其夹角或已知三边用余弦定理。
（1）化角为边，用余弦定理及其变形求解。
（2）化边为角，用正弦定理及三角恒等变换求解。
（3）遇齐次式，优先考虑正弦定理．
（4）注重几何知识的应用
（5）在化简恒等式时，不要轻易约去因式.
例2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
322cos cos sin(A )sinB cos(A C)25
A B B B ---++=- (1)求cos A 的值；
(2)
若a =，b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影． 分析：（1）先降次，然后进行三角恒等变换；
（2）先作出三角形，分析已知量，利用正余弦定理求解；
（3）向量乘积的几何意义
解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35
-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35
-， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35
-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35
-. (2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45
， 由正弦定理，有sin sin a b A B
=， 所以，sin B
＝sin 2
b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4
B =.
根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭
，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．
67°30°46m
B A
故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B ＝22
. 点评：体现运算求解能力，化归与转化等数学思想
讨论展示
如图，从气球A 上测得正前方的河流的两
岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球
的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于____m.
（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈）
解：如图92AC = 0000sin(18067)sin(6730)AC BC =-- 00sin 37920.660sin 670.92
AC BC •⨯∴=≈= 小结：应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：
(1)分析——准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立数学模型
(3)求解——运用正弦定理、余弦定理有序的解出三角形。
(4)检验——检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
三、总结提升
1.边角互化：熟练使用正、余弦定理
2.转化与化归思想：解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换等相结合考查正弦、余弦定理的应用。
解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．
四、布置作业
解三角形练习题单。