x4
和流函数
(x, y) f ()[4 (Grx )1/4 ]
4
其中，局部葛拉晓夫数为
Grx
g (tw t f 2
)x3
则可分析求解得到垂直表面上层流自然对流换
热的局部换热系数关联式为
Nu x
hx
( Grx 4
)1/ 4
* g(Pr)
而长为L的对流表面平均对流换热系数关联式为
Nu L
hL
4 (GrL 34
其物理意义反映了流体
U V 0； X Y U U V U X Y
1 2u ； Gr y 2
温差引起的浮升力导致 的自然对流流场中的流 体惯性力与其黏性力之 间的对比关系。
U V
1 2。
X Y Gr Pr 2 Y 2
1-4 垂直表面上的层流自然对流 换热分析解
引入相似变量 y (Grx )1/ 4
动量方程中的压力梯度项，按其在y方向上变化的
特征，在边界层外部可以求得为 dp
于是动量方程变为
dx
g
u
u x
v
u y
g
2u y 2
另外，引入体积膨胀系数 ，使方程中的密度差可
转化用温度差来表示，即
1
T
p
1
T
T
对于理想气体，体积膨胀系数为其绝对温度值的倒 数，即β=1/T。由
1
T
竖平板及 竖圆柱
流态
层流 过渡流 湍流 层流
横圆柱 过渡流
湍流
系数及指数
C
n
0.59
1/4
0.0292
0.39
0.11
1/3
0.48
1/4
0.0445
0.37
0.10
1/3
Gr数适用范围
1043109 310921010
>21010 104 5.76108
5.76108 4.65109 >4.65109
)1/ 4
* g(Pr)
4 3
Nu L
其中，不同Pr数下g(Pr)的数值可参照下表选取
Pr 0.01 0.72 1
2
10 100 1000
g(Pr) 0.081 0.505 0.567 0.716 1.169 2.191 3.966
实验研究发现，当Gr>109时，自然对流边界层就会 失去稳定而从层流状态转变为紊流状态。
1 大空间自然对流换热 1-1 流动机理和换热特征
机理：流体受浮升力与粘滞力 联合作用的结果。 自然对流边界层形式：（1）层流边界层；（2）湍流边 界层 决定自然对流形式的参数是壁面与流体的温度差和流 体的物理性质。基础研究发现，在壁面热流或壁面温 度保持恒定的情况下，当流动达到旺盛湍流时，局部 对流换热系数将保持不变。
X x ,Y y ,U u ,V v ,
L
L
ua
ua
w
把上述无量纲变量代入微分方程组，得新的无量纲 化的竖板自然对流换热微分方程组为：
U V 0； X Y
U
U X
V
U Y
g w
ua2
L
ua
L
2u ； y 2
U
X
V
Y
a ua L
2。 Y 2
进一步简化后可得
引入无量纲数
Gr
gw L3 2
（1）竖板（或垂直平壁）
Nu L
{0.825
[1
0.387RaL1/ 6 (0.492 / Pr)9/16
]8
/
27
}2
式中，RaL为雷利数，
RaL
GrL
* Pr
g (tw t f a
)L3
上式同时适用于等热流表面和等壁温表面。但对于常 热流壁面，应取壁面长度一半处的温度与流体温度之 差作为计算温差。 限制条件：10-1 < RaL < 1012
上式可简化为
Nud
hd
CRad n
C,n 之值可依下表选取
Rad 10-1010-2 10-2102 102104 104107 1071012
C 0.675 1.02 0.85 0.48 0.125
n 0.058 0.148 0.188 0.250 0.333
（3-A）常壁温条件下水平板的自然对流换热
对于层流流动，精度稍高的经验式为
Nu L
0.68
[1
0.67RaL1/ 4 (0.492 / Pr)9/16
]4
/
9
限制条件：0 < RaL < 109
（2）长的水平圆柱
Nu L
{0.60
0.387Rad1/ 6
}2
[1 (0.599 / Pr)9 /16 ]8/ 27
限制条件：10-5 < Rad < 1012
从竖直平板的底部开始发展的自然对流边界层，除边界层 厚度逐步增大之外，其边界层中的惯性力相对于黏性力也会 逐步增大，从而导致边界层中的流动失去稳定，而使流动由
层流变化到紊流。
如受迫对流的边界层从层流变为紊流取决于无量纲 准则雷诺数Re一样，自然对流边界层从层流变为紊流
也取决于一个无量纲准则格拉晓夫数Gr。
1-2 竖板自然对流换热的微分方程组
大空间条件下竖板的自然对流换热是属于边界层流动换 热类型。前面推导的边界层流动换热微分方程组在这里
同样适用。
自然对流换热的
微分方程组为：
u v 0； x y
u
u x
v
u y
Fx
dp dx
2u ； y 2
c p
u
x
v
y
2 ；
y 2
式中 Fx g
下面以竖直平板在空气中的自然冷却过程为例进行 流动与换热特征分析。
注意：边界层内速度分布的特点为中间大，两头小。 其原因是：在壁面上，由于粘性作用，速度为零， 而在边界层外，由于无温度梯度，浮生力为零，从 而速度也为零。 与速度边界层同时存在的还有温度发生显著变化的
薄层，也就是温度从tw逐步变化到环境温度t∞热边界层。 热边界层的厚度也是随着流动方向上尺寸(x)的增大而 逐渐增大，因而竖直平板的换热性能也就会从平板底 部开始随着x的增大而逐渐减弱。
1-5 大空间自然对流换热的实验关联式
一般形式： Nu C(Gr * Pr) n
定性温度一般取为tm=(tw+t∞)/2。对竖板或竖管（圆柱 体），特征尺寸取为板（管）高；对于水平放置的圆管 （横圆柱体），特征尺寸取外直径。
针对于不同的自然对流换热问题c、n有不同取值 （表5－12）
加热表面 形状与 位置
（1）热面朝上或冷面朝下情况
Nu L
p
1
T
T
Hale Waihona Puke 得/T则 换 热 微 分 方
程组可改写为
u v 0； x y
u
u x
v
u y
g
2u ； y 2
c p
u
x
v
y
2 。
y 2
显然，动量方程与能量方程互为耦合，必须联合求解。
1-3 相似性讨论
采用前面介绍的相似分析办法，引入变量参考值， 将方程组无量纲化。
引入变量参考值（无量纲标尺），如竖板高度L、 特征流速ua、温度差 w tw t 等，得相关的 无量纲变量