东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 数学建模与数学实验 考试学期
09-10-3
得分
适用专业 理工各专业
考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟
（可
带
计
算
器
）
题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人
注：以下各题只需计算到小数点后两位。
一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
则 。
2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。
3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。
4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000
x t x x x =-⎧⎨
=⎩，则其变化率最大时间为 。
5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy
y x xy
=-⎧⎨
=-+⎩， 则,x y 的周期平均值为
x y ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
= 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。
7 记123
()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链
0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ⎡⎤
⎢⎥+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，，其正平衡点为 。
自
觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效
密
封
线
学号 姓名
8 轮渡船上甲板总面积为A 。
它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。
每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。
调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ）
A. yq xp
+，满足 A xL yC ≤+
B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+
C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+
D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))((
9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ）
A t
e --1 B 2
)1(t -
C
2t t - D 1t e -+
10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。
（ ） A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i 个产地产量为
i a ，第j 个销售地
的需求量为
j
b ，其中
105
1
1
i j
i j a b
==≥∑∑。
由产地i 到销售地j 的距离为
ij
d ，问如何安排运输，
才能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数（吨公里指运输量×路程）最少？请建立该问题的数学模型(不需求解，记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )
三 （12分）已知三阶成对比较矩阵24A x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1）将矩阵A 的元素补齐 （2）如果A 是一致矩阵，?x =
（3）当5x =时，该矩阵一致性是否在可接受范围内？（3阶随机一致性指标为0.58）
四（12分）已知一组数据
x 1 3 5 7 9
y
3.66
5.47
8.15
12.17
18.15
(1) 已知bx y ae =，用最小二乘法估计,2a b 值（保留到小数点后位） (2) 估计15x y =时的值。
五（12分）假设存在某种药物，当其浓度不低于100毫克/升时，可以治疗疾病。
刚服药时药物的初始浓度为640毫克/升。
从实验中知道，该药物每小时有20%的衰减。
（1）建立该问题关于浓度变化的数学模型
（2）确定第一次服药后，什么时候药物浓度达到100毫克/升。
（3）假设持续有效治疗，则第二次服药后，需多长时间后药物浓度达到100毫克/升。
六 （12分）某公园开展自行车租赁业务，并在公园南北门口各设一个租赁点，经一段时间观察发现各租赁点自行车保有量满足 10010.4150(1)0.6n n n
n n n x ax y x y y a x y ++=+⎧
==⎨
=-+⎩，
（1）如果达到平衡状态时，0.8?x y a ==，则
（2）44?x y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
七（12分）某种群最大年龄为9岁，每3岁分为一个年龄组，每3年观测一次。
多次观测发现该种群已经稳定。
最近两次的统计数据为
幼年组 成年组 老年组 第一次 1000 800 500 第二次
1100
880
550
(1) 该种群1个时段增长率是多少？年龄结构如何？
(2) 3个年龄组1个时段的雌性生育率123,,b b b 满足怎样关系？并给出21322b b b ==时
生育率值。
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）答案
一 1. 18010⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2. 32,1237,23x x y x x -≤≤⎧=⎨-≤≤⎩
3.2
4.400ln 2277.26=
5.100050⎛⎫ ⎪⎝⎭
,6. 0.5<b<1 7.(26,21,24)/71(0.366,0.296,0.338)= 8.B,9.A,10.D 二
105
1
1
5
10
1
1
min .,
ij
ij i j ij
i ij
j ij j i d
x s t
x
a x
b x ====≤≤≥∑∑∑∑，
，
(3+3+3+3+1)
三
3max 1
2
411/2
1,(2)2
1/4
1/1(3()(1)3(1) 2.90
3.09,0.08
A x x x
f RI λλλλ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=----===（）） (3+3+3+2+1)
经分析矩阵A 在一致性可接受范围。
四
x 1 3 5 7 9 y 3.66 5.47 8.15 12.17 18.15 lny
1.298
1.699
2.098
2.499
2.899
2 (1)
11 1.29813 1.699,1
5 2.09817 2.49919 2.899A Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
2 ln 0.2,ln 1.098,3
T
T a A A A Y b b a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=== 2+2 (2) 60.26y =. 4
五 （1） 0.2'0.2()640(0)640
t c c c t e c -=-⎧=⎨
=⎩ 4
（2） 5ln 6.49.28()t h == （3） 5ln 7.410()t h == 4+4
六 （1）0.40.8(1)0.4
,10.60.5
x a
x a y a y a -=⎛⎫⎡⎤⎛⎫= ⎪ ⎪⎢
⎥-=⎝⎭⎣⎦⎝⎭
6
（2）4
440.50.41501330.50.6150167x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 6 七 （1）1100/1000 1.1110%*[1,0.8,0.5]n λλ==-==，， 3+3
（2）231213122
112123()///1
/0.8,/0.5
0.80.5 1.1
q b b s b s s s s s b b b λλλλλλλ=++===++==1320.35,0.71b b b === 3+3。