一. （10％）求22×C
的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈⎬． 12,y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
|,|,C V x ⎛⎞⎞=∈⎜⎟⎟⎝⎠⎠x
y x y x y y x ⎧⎛=⎨⎜−−⎝⎩y C ⎫⎭二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ϕψ∀∈，
)1
1(),()()(x x ϕψ−<>∫x ϕψ=x dx 。

令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。

求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得
0min W ξηηη∈ξ−=−． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈，
⎟，其中，a 为234a a a a ⎜()f X ⎛⎞=⎝⎠
X 的迹()tr X 。

1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；
2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数；
3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基；
4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？
四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ⎟⎟的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。

1702001a A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠
()A I −五. （14%）假设矩阵． 101002101A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
1. 求A 的广义逆矩阵A +
；
2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =．
六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。

1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵；
2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。

七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r
，证明22F A A A ≤≤。

八. （8%）假设A +是s n A C ×∈的广义逆矩阵，证明：，其中，分别表示矩阵A 的核空间和A ()()n C K A R A +
=⊕(),(K A R A )++的值域．
九. （12%）假设,A B 都n 阶Hermite 矩阵．
1. 如果A 是正定的，证明：存在可逆矩阵C ，使得,都是对角阵；
H H C AC C BC 2. 如果,A B 都是半正定的，并且A 的秩()1r A n =−，证明：存在可逆矩阵C ，
使得,都是对角阵。

H H C C BC C A。