地图投影复习资料基本概念地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。

任务（1）研究将地球面上的地理坐标描写到平面上，建立地图数学基础的各种可能的方法； （2）讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。

大地水准面与大地体（Geoid ）大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做。

由它所包围的球体，叫做大地体。

地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。

这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。

由它所围成的球体，称为或地球椭球。

地球椭球体的形状和大小扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity)第二偏心率(Second Eccentricity)地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标点两极 (pole) 线经线(meridian) 纬线(parallel) 面平行圈(parallel)子午圈(meridian) : 长半径为ae ，短半径为be 的椭圆 地理坐标地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)子午圈：通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。

主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。

卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。

地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。

子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径卯酉圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）之间的关系：M ≤N 在赤道上：在极点上：子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。

曲率和曲率半径，且f(x )具有二阶导数。

则该曲线的曲率为：地球球半径的三种表达等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积经线弧长：纬线弧长：地球椭球面上的梯形面积：地图投影的基本概念地图投影就是将地球椭球面（或球面）上确定的点，通过一定的数学法则表示到投影面(Projection Surface)上，建立两面之间点的一一对应关系。

地图投影的基本方法几何透视法：利用透视线的关系，将地球面上的点描写到投影面上。

数学分析法：在原面与投影面之间建立点与点的函数关系。

一般表达式：经线方程：纬线方程：201(1)e M a e =-0eN a =⎰=21φφφMd s m cos n s r N λφλ=⋅∆=⋅∆),(),(21λϕλϕf y f x ==0),,(1=λy x F地图投影变形的基本概念ds ' 与它原有的长度ds 之比，以μ 表示，即dF '与它原有的长度dF 之比，以P 表示，即长度变形：面积变形：角度变形：某一角度投影后的角值 'β 与它在地面上固有的角值 β 之差，即主比例尺计算地图投影或制作地图时，必须将地球（椭球或球）按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率称为地图的主比例尺或普通比例尺。

局部比例尺地图上除保持主比例尺的点或线以外其它部分上的比例尺。

变形与比例尺之间的关系：变形大小与主比例尺无关。

地图投影的基本公式地球椭球面上的线段、角度、面积[表达](PPT) 椭球面上线素在平面上的表象平面上的线段 经纬线交角的关系微分线段 ds 的方位角 α 在平面上的表象 微分面积在平面上的表象 保持某一投影性质的条件 等角投影条件：等面积投影条件：等距离投影条件：长度比公式一般公式：经线长度比 (m ) :纬线长度比(n ) ：0),,(2=ϕy x F 1-=μμV 1-=P V P m n=H Mr=1m = sin 1m n θ'⋅⋅=不同点上长度比都不相同；同一点上不同方向的长度比也不相同。

任意方向长度比(μ) 与经、纬线长度比(m 、n )之间的关系式：主方向：极大、极小长度比所在的两个方向线，它们在椭球面上正交。

主方向的特点：在椭球面上相互垂直，投影到平面上仍保持垂直。

主方向线与经纬线的关系：地球表面上的经纬线投影到平面上不一定保持正交。

若保持正交（'θ=90︒），则经纬线方向为主方向。

经纬线长度比(m ,n )与极值长度比的关系：面积比公式 一般公式：微分椭圆椭圆方程式：对于不同性质的投影，微分椭圆表现为不同的形状，并且随区域位置不同而变化。

由于它能显示出变形特征，所以称为变形椭圆。

它是法国数学家底索于1881年提出的，所以又称为底索曲线（指线）（Tissot Indicatrix ）。

变形椭圆的方位角变形椭圆方位角α0'：角度变形公式对称方向夹角最大角度变形：一点上的最大角度变形ω：变形的近似式'sin 2222θmn b a n m b a =⋅+=+ab P =v μ+≈a bv v ω=-或面积变形的近似表达式：不同性质投影的变形特征 等角投影：等面积投影：等距离投影（若b=1）：地图投影的分类 投影变形性质等角投影(Conformal Projection)等面积投影(Equivalent Projection) 任意投影(Conventional Projection)其中包括等距离投影(Equidistant Projection) 正常情况投影的经纬网形状圆锥投影(Conical Projection)纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆的直径，两经线间的夹角与相应经差成正比；圆柱投影(Cylindrical Projection)纬线投影为平行直线，经线投影为与纬线垂直而且间距相等的平行直线，两经线间的距离与相应经差成正比；方位投影(Azimuthal Projection)纬线投影为同心圆，经线投影为同心圆的直径，两经线间的夹角与相应经差成正比。

在方位投影中，又分为透视方位投影和非透视方位投影； 伪圆锥投影(Pseudo-conical Projection)纬线投影为同心圆弧，经线投影为对称于中央直经线的曲线；伪圆柱投影(Pseudo-cylindrical Projection)纬线投影为平行直线，经线除中央经线投影为直线外，其余经线投影为对称于中央经线的曲线；伪方位投影(Pseudo-azimuthal Projection)纬线投影为同心圆，经线投影为交于纬线共同中心并对称于中央直经线的曲线；多圆锥投影(Poly-conical Projection)纬线投影为同轴圆弧，其圆心位于投影成直线的中央经线上，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

投影面与地球体表面的相关位置正轴、横轴和斜轴(Normal 、 Transverse & Oblique Axis)切、割(Tangent & Secant) 平面上的坐标系与坐标变换 直角坐标系的平移和旋转 平移：x ' = x - a y ' = y - b 旋转：x ' = x cos θ - y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ 极坐标系：极坐标与平面直角坐标的关系式：b a p v v v +≈v v v v v p b a 2,0,====ω0,2,===-=p b av v v v v ω0,,b a p v v v v v v ω====，12()()(,)q f f f ϕρϕδϕλ===δρδρsin cos =-=y q x以极坐标表示的投影长度比和变形的一般公式（PPT ） 球面坐标及其变换 球面极坐标系把地球作为球体时，地理坐标也是一种球面坐标，即由通过南北地极的经圈和平行于赤道的纬圈来确定地面上任一点的位置。

现在采用另一种确定地面点位的球面坐标，为了区别起见，称之为球面极坐标。

球面极坐标系的建立通常根据制图区域的形状和地理位置，选择一个新极点Q （ϕ0，λ0），球面上的各点便以新极点Q 为原点，以方位角α和天顶距 Z 表示其位置，从而构成球面极坐标系。

垂直圈：过新极点所在的直径的所有大圆，叫做垂直圈，相当于地理坐标的经线圈。

等高圈：垂直于垂直圈的各圆，叫做等高圈，其中通过球心的为大圆，其余为小圆。

方位角：过A 点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角，为方位角。

从形式上来看，方位角相当于λ。

天顶距：A 点至新极点Q 的垂直圈弧长，即天顶距。

从形式上来看，天顶距相当于90︒-ϕ。

于是，地球面上任一点A ，它既可以用地理坐标（ϕ, λ）确定，也可以用球面极坐标（α, Z ）来确定，而且两种坐标系可以进行换算。

球面三角形的基本公式（基本定理）（1）正弦公式：（2）边的余弦公式：球面三角形任意边的余弦等于其他两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。

（3）角的余弦公式：球面三角形任一角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角的正弦及其夹边余弦的连乘积。

（4）第一五元素公式（PPT ） （5）第二五元素公式（PPT ） （6）余切公式（PPT ）直角球面三角形的基本公式（PPT ）地理坐标与球面极坐标之间的关系[推导]（PPT ）当需要计算斜轴或横轴投影时，需要解决以下几个问题：首先，根据制图区域的地理位置、形状特点和投影的要求，确定新极点Q （ϕ0，λ0）； 其次，将制图区域内的各点的地理坐标（φ，λ）换算成球面极坐标 （α ，Z ）； 最后，以α ，Z 为参数，在原面与投影面之间建立点与点之间的函数关系式：cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos a b c b c Ab ac a c Bc a b a b C =+=+=+cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos A B C B C aB AC A C bC A B A B c =-+=-+=-+确定新极点Q新极点在制图区域的中心点上斜方位投影：取制图区域边界上的若干点的经纬度，求其算术平均值；横方位投影：新极点位于赤道上，只需确定λ0。

新极点为通过制图区域中部的大圆的极 斜轴或横轴圆柱投影新极点为通过制图区域中部小圆的极 斜轴或横轴圆锥投影由地理坐标（ϕ，λ）换算球面极坐标（α ，Z ）计算横轴投影圆锥投影(Conical Projection) 圆锥投影的概念：设想用一个圆锥套在地球椭球体上，然后把地球椭球面上的经纬线网按照一定条件投影到圆锥面上，最后沿着一条母线（经线）将圆锥面切开而展成平面，就得到圆锥投影。