成都七中2019年自主招生考试
数学
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）
1. 若22
512106413
M x xy y x y（x，y为实数），则M的值一定是
（A）非负数（B）负数（C）正数（D）零
2. 将一个棱长为m（2
m且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成3m个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰好有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m的值为
（A）16 （B）18 （C）26 （D）32
3. 已知2
610070
a a以及2
710060
b b，且1
ab，则a
b
的值为
（A）50
3
（B）
6
7
（C）
100
7
（D）
7
6
4. 若
3
235
a，2610
b，则
a
b
的值为
（A）1
2
（B）
1
4
（C
23
（D
610
5. 满足10
ab a b的整数对(,)
a b共有
（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个
6. 在凸四边形ABCD中，E为BC边的中点，BD与AE相交于点O，且BO＝DO，AO＝2EO，则S△ACD: S△ABD的值为
（A）2:5（B）1:3（C）2:3（D）1:2
7. 从1到2019连续自然数的平方和2222
1232019的个位数字是
（A）0 （B）1 （C）5 （D）9
8. 已知0
x y z，且
111
123
x y z
，则代数式222
(1)(2)(3)
x y z的值为
（A）3 （B）14 （C）16 （D）36
9. 将一枚六个面编号分别是1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的
点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组
2
23
ax by
x y
只有正数解的概率为
（A）
1
12
（B）
1
6
（C）
5
18
（D）
13
36
10. 方程2
38310
a a b，当a取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b的个数是
（A）12个（B）13个（C）14个（D）15个11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为
（A）31个（B）32个（C）33个（D）34个12. 若关于x的方程230
x ax b有实根，则22
(4)
a b的最小值为
（A）0 （B）1 （C）4 （D）9
二、填空题（13~16题，每题7分；17~19题，每题8分，共52分）
13. 已知
313
2
x，则代数式43
331
x x x的值为______.
14. 在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个.
15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得
到△'A DE，使△'A DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的1
4
，则BE的长为______.
第15题图第17题图第18题图
16. 已知关于x 222
2144269
x x x x x m恰好有两个实数解，则m的取值范围为___.
17. 如图，P A切⊙O于点A，PE交⊙O于点F，E，过点A作AB ⊥PO于点D，交⊙O 于点B，连接DF，
若
2
sin
3
BAO，5
PE DF，则
PF
PE
______.
18. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°. M和N分别是线段AD 和线段BC上的点，且满足BN＝DM，则线段MN的最小值为______.
19. 若1
1
2
x，23
0123
2
12
n
n
x
a a x a x a x a x
x
x
，则
23
a a______. B
A P
三、解答题（20题18分，21题20分，共38分） 20. 已知二次函数2(7)6y
x a x ，反比例函数a y
x
. （1）当2a 时，求这两个函数图象的交点坐标；
（2）若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横，纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a 的值； （3）若两个函数的交点都在直线1
2
x 的右侧，求a 的取值范围.
21. 已知，四边形ABCD中，点E，F分别为AD，AB上的点，连接BE，DF相交于点G，且满足ADF ABE.
（1）如图1，若DE＝BG＝n，
2
cos
3
AEB，GE＝3，求AE的长（用含n的代数式表示）；
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，G恰为BE的中点，连接CG，AE＝1，作点A关于BE的对称点'A，
'A到CG
DE的长.
图1 图2
D
F。