第2题自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

【祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则A S S S 123<<B S S S 213<<$C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 221-π第3题…4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠ 为直角的点P 的个数是A 0B 1C 2D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2, 且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定%二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，222||a ab b b -+-______▲________.]8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S正方形ABCD =▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案： （1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张】第7题第8题（2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张11.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲%12．阅读下列证明过程：已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答： ▲ ． ￥…第10题第11题第12题(2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试 数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）￥7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 \(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。

年票分A 、B 、C 三类：A 类年票每张120元，持票者进人公园时无需再购买门票；B 类年票每张60元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次2元；C 类年票每张40元，持票者进入该公园时，需再购买门票，每次3元。

⑴（5分） 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该公园的门票上，试通过计算，找出可使进人该公园的次数最多的购票方式； ⑵（5分） 求一年中进人该公园至少超过多少次时，购买A 类票比较合算。

#14．（本小题12分）如图1所示，在正方形ABCD 中，AB=1，AC 是以点B 为圆心。

AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作AC所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点。

⑴（4分） 当 ∠DEF ＝45○时，求证点G 为线段EF 的中点； ⑵ （4分）设AE=x ， FC=y ，求y 关于x 的函数解析式；并写出函数的定义域； -⑶（4分） 图2所示，将△DEF 沿直线EF 翻折后得△ D 1EF ，当EF=56 时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

图1 图2解：#…15．（本小题12分）二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示。

已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，l ）。

（1）（4分）请判断实数a 的取值范围，并说明理由； （2）（4分）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当ΔAMC 面积等为△ABC 面积的54 倍时，求a 的值。

（3）（4分）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。

（3）由－1＜a ＜0，设∠ABC 为直角，由222BC AB AC +=，得2211(1)2(1)a a-=++．、解得 1a =-，不合题意．所以不存在。

16． （本小题12分）如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处。

某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20 s 后监测点C 相继收到这一信号。

在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s 。

（1）（6分）设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B,C 到P 的距离，并求x 值；（2）（6分）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到 km ）。

解：依题意，PA －PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC －PB=×20=30（km ）．因此 PB ＝（x 一12）km ，PC=（18＋x ）km. 在△PAB 中，AB= 20 km ，&22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅同理，在△PAC 中，72cos 3xPAC x-∠= 由于cos cos PAB PAC ∠=∠ 即3327253x x x x +-=解得1327x =（km ）． (2)作PD ⊥a,垂足为D. 在Rt △PDA 中，PD =PAcos ∠APD=PAcos ∠PAB = 132332332755x x x⨯++⋅= 17.71≈（km ）． 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17. 71 km.￥17．(本小题14分)已知AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动（点C 与点A 不重合），以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，∠DCB 的平分线与半圆M 交于点E 。

（1）（4分）求证：CD 是半圆O 的切线（图1）；（2）（5分）作EF ⊥AB 于点F （图2），猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）（5分）在上述条件下，过点E 作CB 的平行线交CD 于点N ，当NA 与半圆O 相切时（图3），求∠EOC 的正切值。

（1）证明：如图1，连结OD ，则OD 为半圆O 的半径∵OC 为半圆M 的直径 )∴∠CDO=90°∴CD 是半圆O 的切线。

图1 (图2图（2）猜想：12EF OA =。

证法一：如图，连结OD 、OE ，延长OE 交CD 于点K ，作EG ⊥CD 于点G ，则EG//OD 。

∵CE 平分∠DCB ∴∠OCE=∠KCE ∵EF ⊥AB∴EG=EF∵OC 是半圆M 的直径，E 为半圆M 上的一点∴∠CEO=∠CEK=90° 、∵CE 为公共边∴△COE ≌△CKE∴OE=KE ∵EG//OD∴DG=GK∴EF EG OD OA ===1212证法二：如图，以OC 为直径作⊙M ，延长EF 交⊙M 于点P ，连结OD 。

∵EF ⊥CO∴EF PF EP EO PO ==⋂=⋂12，∵CE 平分∠DCB∴∠DCE=∠ECO∴DE OEOD EP ⋂=⋂∴⋂=⋂∴OD=EP∴EF OD OA ==1212证法三：如图，连结OD 、ME ，OD 、ME 相交于点H ∵CE 平分∠DCB∴⋂=⋂OE DE∴ME ⊥OD ，OH =12OD ∵EF ⊥CO∴∠MFE=∠MHO=90°∵∠EMF=∠OMH ，ME=MO ∴△MEF ≌△MOH ∴EF=OH∴EF OD OA ==1212（3）解：如图3，延长OE 交CD 于点K设OF=x ，EF=y ，则OA=2y∵NE//CB ，EF ⊥CB ，NA 切半圆O 于点A ∴四边形AFEN 是矩形∴NE AF OA OF y x ==-=-2 同（2）证法一，得E 是OK 的中点 ∴N 是CK 的中点∴==-CO NE y x 222()∴=-=-⊥⊥CF CO OF y x EF AB CE EO43 ，∴Rt △CEF ∽Rt △EOF∴EF CF OF 2=⋅，即y x y x 243=-()解得y x y x==31或当时，y x EOC EF OF y x=∠===33tan ，当时，点与点重合，不符合题意，故舍去yxC A =1 ∴tan ∠EOC=3图3。