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北京市东城区普通高中示范校2012届高三数学12月综合练习(一) 理【会员独享】

北京市东城区普通高中示范校2012届高三12月综合练习(一)(数学理)2011.12学校: 班级: 姓名: 成绩: 一、选择题:本大题共8小题。

每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若,0>>b a 则下列不等式不成立的是( )A.ba 11< B.b a > C.a b +< D.ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212.已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(,若1)(≥x f ,则x 的取值范围为( )A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232C .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,65262 3.已知向量(2,3)=a ,(1,2)=-b ,若m n +a b 与2-a b 共线,则n m等于( )A .2-;B .2C .21-D .214.设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数,且()20f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A .()()2,02,-+∞UB .()(),20,2-∞-UC .()(),22,-∞-+∞UD .()()2,00,2-U5. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切,则r 等于( ) A .3 B .2 C .3 D .6 6. 规定{}⎩⎨⎧<<=,,,,,min a b b b a a b a 若函数{}()min ,f x x x t =+的图象关于直线21-=x 对称,则t 的值为( )A .-2B .2C .-1D .1 7.若R ∈x ,*∈Nn ,定义:)2)(1(++=x x x M nx )1(-+n x Λ,例如:55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A .是偶函数而不是奇函数B .是奇函数而不是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数8、非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意a 、b G ∈,都有G b a ∈⊕;(2)存在c G ∈,使得对一切a G ∈,都有a c c a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算:①G ={非负整数},⊕为整数的加法。

②G ={偶数},⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量},⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式},⊕为多项式的加法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是( ) A .①② B .①③C .②③D .②④二.填空题(每题5分,共6小题)9.“2x <”是“220x x --<”的 条件. 10.函数ϕωϕ+ω=,,(),sin()(A x A x f 是常数,)0,0>ω>A 的部分图象如图所示,则=)0(f .11.设y x ,是满足42=+y x 的正数,则y x lg lg +的最大值是 .12.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .13.定义在R 上的运算:(1)x y x y *=-,若不等式()()1x y x y -*+<对一切实数x 恒成立,则实数y 的取值范围是 .14.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n a 的各项按如下规律排列: 1121231234121,,,,,,,,,,,,,,,2334445555n n n n-L L L 有如下运算和结论: ①243;8a =②数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++L 是等比数列;xyO③数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++L 的前n 项和为2;4n n nT +=④若存在正整数k ,使1510,10,.7k k k S S a +<≥=则 其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论序号都填上) 三、解答题15 (本小题满分13分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足25cos 2A =,3AB AC ⋅=u u ur u u u r .(I ) 求ABC ∆的面积; (II ) 若6b c +=,求a 的值.16. (本小题满分13分)如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =PD 21.(I )证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (II )求二面角C BP Q --的余弦值.17.(本小题满分13分)已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f . (I )求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值;(II )对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分13分)已知O 为平面直角坐标系的原点,过点(20)M -,的直线l 与圆221x y +=交于P ,Q 两点.(I )若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ,求直线l 的方程;(Ⅱ)若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等,求直线l 的斜率.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n n n n . (Ⅰ)试判断数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是否为等比数列,并说明理由; (Ⅱ)设2)12(sinπ-=n a c n n ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,32<n T .20.(本小题满分14分)若()113x p f x -=,||2232)(p x x f -⋅=,R ∈x ,21,p p 为常数,且⎩⎨⎧>≤=).()(),(),()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f(Ⅰ)求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件(用12,p p 表示); (Ⅱ)设,a b 为两实数,a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b = 求证:()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-(闭区间[],m n 的长度定义为n m -).东城区示范校综合练习(一)高三数学答案 (理) 2011年12月一、选择题 1.C 2.B 3.C4.D5.A6.D7.A8.B二、填空题9.必要非充分条件 10.26 11.2lg12.1 13.)23,21(- 14.①③④三、解答题15 (本小题满分13分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos 2A =,3AB AC ⋅=u u ur u u u r .(I )求ABC ∆的面积; (II )若6b c +=,求a 的值.解:(I )因为cos2A =,所以53cos =A ,又π<<A 0,所以54sin =A . 由3AB AC ⋅=u u u r u u u r,得cos 3,bc A =所以5=bc .故2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 (II )由5bc =,且6b c +=,解得⎩⎨⎧==,1,5c b 或⎩⎨⎧==.5,1c b由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=,故52=a . ………………13分16. (本小题满分13分)如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =PD 21.(I )证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (II )求二面角C BP Q --的余弦值.解:(I )如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz D -.依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0). 则)0,1,1(),1,0,0(),0,1,1(-===PQ DC DQ . 所以0,0=⋅=⋅DC PQ DQ PQ . 即DC PQ DQ PQ ⊥⊥,, 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ . …………6分 (II )依题意有B (1,0,1),)0,0,1(=CB ,)1,2,1(--=BP .设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0BP n CB n 即⎩⎨⎧=-+-=.02,0z y x x因此可取)2,1,0(--=n .设m 是平面PBQ 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0PQ m BP m可取)1,1,1(=m ,所以515,cos -=n m .故二面角C BP Q --的余弦值为515-. ………………13分 17. (本小题满分13分)已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f . (I )求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值;(II )对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1))(x f 定义域为()+∞,0,1ln )(+='x x f , 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0,0)(<'x f ,)(x f 单调递减,当),1(+∞∈ex ,)(,0)('x f x f >单调递增. ……………………………………2分①当t e t t ,120<+<<无解;……………………………………………………………3分 ②当210+<<<t e t ,即e t 10<<时,e e f x f 1)1()(min -==; …………4分③当21+<≤t t e 即et 1≥时,)(x f 在[]2,+t t 上单调递增,t t t f x f ln )()(min ==;………5分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=.1,ln ,10,1)(min e t t t e t e x f ………6分(2)3ln 22-+-≥ax x x x ,则xx x a 3ln 2++≤,对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ,则2)1)(3()('xx x x h -+=, 当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减,当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …………10分)(x h 在),0(+∞上,有唯一极小值)1(h ,即为最小值.所以4)1()(min ==h x h ,因为对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立,所以4)(min =≤x h a . ……………………………13分 18.(本小题满分13分)已知O 为平面直角坐标系的原点,过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于Q P ,两点.(Ⅰ)若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ,求直线l 的方程;(Ⅱ)若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等,求直线l 的斜率. 解:(Ⅰ)依题意,直线l 的斜率存在,因为 直线l 过点(2,0)M -,可设直线l :(2)y k x =+.因为Q P ,两点在圆221x y +=上,所以 1OP OQ ==u u u r u u u r,因为 12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ,所以 1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r .所以 120POQ ︒∠= 所以 O 到直线l 的距离等于12.所以12=,得k =±所以 直线l的方程为20x +=或20x ++=. …………6分(Ⅱ)因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等,所以2MQ MP =u u u u r u u u r,设 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,所以 22(2,)MQ x y =+u u u u r ,11(2,)MP x y =+u u u r.所以⎩⎨⎧=+=+,12122),2(22y y x x 即⎩⎨⎧=+=.12122),1(2y y x x (*)因为 P ,Q 两点在圆上,所以⎩⎨⎧=+=+.1,122222121y x y x 把(*)代入得⎩⎨⎧=++=+.14)1(4,121212121y x y x 所以11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩, 故直线l的斜率9MP k k ==±,即9k =±. ………13分 19、(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n n n n . (Ⅰ)试判断数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是否为等比数列,并说明理由; (Ⅱ)设2)12(sinπ-=n a c n n ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,32<n T .解(1)()()()111112121121-------=--=--=n nn n nn n nn n a a a a a a a 得由已知, ()()()]112[21211111----+-=--⋅=-+n n n n n n a a a .又043111≠-=-a ,故()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11为公比为-2的等比数列. …………7分 (2)由(1)得()11)2(3)2()14(11---⋅=-⋅-=-+n n nna . 所以()nn n a 1)2(311---⋅=-,()n n n a 1)2(311---⋅=-, ()11112311231)1(1)2(312)12(sin----⋅<+⋅=-⋅---⋅=-=n n n n n n n n a c π. 所以32])21(1[32211])21(1[31<-=--<n n n T . …………14分20.(本小题满分14分)若()113x p f x -=,()2223x p f x -=g ,R ∈x ,21,p p 为常数,且⎩⎨⎧>≤=).()(),(),()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f(Ⅰ)求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件(用12,p p 表示); (Ⅱ)设,a b 为两实数,a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b = 求证:()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-(闭区间[],m n 的长度定义为n m -).解:(Ⅰ)()()1f x f x =恒成立⇔()()12f x f x ≤⇔12323x p x p --≤g ⇔123log 233x p x p ---≤;⇔1232x p x p log ---≤(*)因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=-, 所以,故只需12p p -32log ≤(*)恒成立.综上所述,()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是12p p -32log ≤. ………4分 (Ⅱ)1°如果12p p -32log ≤,则的图象关于直线1x p =对称.因为()()f a f b =,所以区间[],a b 关于直线1x p = 对称.因为减区间为[]1,a p ,增区间为[]1,p b ,所以单调增区间的长度和为2b a-. ………6分 2°如果12p p -32log >.(1)当12p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]1,x p b ∈,()()213log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x <,故()()1f x f x ==13x p -.当[]2,x a p ∈,()()123log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x >,故()()2f x f x ==23log 23p x -+.因为()()f a f b =,所以231log 233p a b p -+-=,所以123log 2,b p p a -=-+即123log 2a b p p +=++.当[]21,x p p ∈时,令()()12f x f x =,则231log 233x p p x-+-=,所以123log 22p p x +-=,当1232log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()12f x f x ≥,所以()()2f x f x ==23log 23x p -+; 1231log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()12f x f x ≤,所以()()1f x f x ==13p x -.()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12312log 22p p b p p +--+-=123log 2222p p a b b ab b +++--=-=. …………10分(2)当21p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]2,x p b ∈,()()213log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x >,故()()2f x f x ==23log 23x p -+.当[]1,x a p ∈,()()123log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>,所以()()12f x f x <,故()()1f x f x ==13p x-.因为()()f a f b =,所以231log 233b p p a-+-=,所以123log 2a b p p +=+-.当[]12,x p p ∈时,令()()12f x f x =,则231log 233p x x p -+-=,所以123log 22p p x ++=,当1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()()12f x f x ≤,所以()()1f x f x ==13x p -; 1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()12f x f x ≥,所以()()2f x f x ==23log 23p x -+;()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12321log 22p p b p p ++-+-=123log 2222p p a b b ab b +-+--=-=. 综上得()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-. …………14分。

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