北京市东城区2020-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27- （B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲（A ）16 （B ）18 （C ）24 （D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-（B ）3±（C）-（D ）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5（8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 .（10）在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．（12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．（13）抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点DC 1Q 0N 1CB 1A B M Q(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．（14）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角)3π(0≤≤θ到11AB C D 的位置 ，同时点M 沿着AD 从点A运动到点D ，11MN DC =，点Q 在1MN 上，在运动过程中点Q 始终满足QM 1cos =θ，记点Q 在面ABCD 上的射影为0Q ，则在运动过程中向量0BQ 与BM 夹角α的正切的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.FEBFA 1BE（16）（本小题共13分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率. （17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小. 图1 图2(18)（本小题共14分）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立； (Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围.（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．（20）（本小题共14分）若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++．（Ⅰ）求(6)g ,(20)g 的值； （Ⅱ）求1S ，2S ，3S 的值； （Ⅲ）求数列{}n S 的通项公式．北京市东城区2020-2020学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）(0,),tan sin 2x x x π∀∈≤ （102 （11）84 乙（12） 60 （13） 14x =- 2 （14）612注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos 2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos4x x =+2)4x π=+ ,…………6分 所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分 （Ⅱ）依题意,()y g x ==2[4()8x π-4π+]1+2)14x π=-+. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分DPFEACB当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 取最大值21+； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0. …………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-. …………2分(10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ， (2)0.80.10.08P X ==⨯=，(3)0.20.10.02P X =-=⨯=. …………6分由此得X 的分布列为：X 10 5 2 3-P0.72 0.18 0.080.02…………8分 （Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥，又n *∈N 且4n ≤，得3n =，或4n =. …………10分所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=.（或写成512625）答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. …………13分（17）（共13分）（Ⅰ）证明：取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. …………2分 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥.…………3分 所以1A EB∠为二面角1A EF B--的平面角.图1又二面角1A EF B --为直二面角，所以1A E BE ⊥. (5)分又因为BE EF E =,所以1A E⊥平面BEF ,即1A E⊥平面BEP . …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，F 在图１中，连结DP .因为12CF CP FA PB ==，所以PF ∥BE ，且12PF BE DE ==. 所以四边形EFPD为平行四边形. 所以EF ∥DP ，且EF DP =. 故点P 的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B =-， (BP =-，1(0,0,1)EA =. …………8分不妨设平面1A BP 的法向量(,,)x y z =n ，则10,0.A B BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令y =，得(3,,6)=n . …………10分所以cos 〈1EA 〉n,112||||14EA EA ⋅===⨯n n . …………12分 故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π. …………13分（18）（共14分）（Ⅰ）解：23e ()2e f x x x'=+-. …………2分由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）．…………4分得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>．故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． …………9分故当0x >时，有()0f x ≥恒成立． …………10分(Ⅲ)解： 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则223e ()2e 23e 2e a F x x a x-=++≥-，当且仅当23e x a =-故()F x 的最小值223e 2em a =-2e >，符合题意； …………13分当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a的取值范围是2(3e ,)+∞． …………14分（19）（共13分） （Ⅰ）解：由已知2221,223,.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，3b =． …………4分 故所求椭圆方程为22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，()21,0F ．设()()000,2P x y x ≠±，则2203412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+； 所以(M 4,062y x +)，同理(N 4,022y x -)． …………7分 所以2F M =(3,0062y x +)，2F N =(3,0022y x -). 所以 22F M F N ⋅=(3,0062y x +)⋅(3,0022y x -) 000062922y y x x =+⨯+- ()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()20209499904x x -=-=-=-． 所以 22F M F N⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． …………9分设MN的中点为E，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分 又2F E =(3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-所以22F E F P ⋅=(3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以22F E F P ⊥． …………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………13分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）(6)3g =，(20)5g =． …………2分（Ⅱ）1(1)(2)112S g g =+=+=；2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=．…………6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m *∈N ， 有(2)()g m g m =． …………8分所以当2n ≥时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S g g g g g g =+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++⨯ 11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-⨯=++++114n n S --=+…………11分于是114n n n S S ---=，2,n n *≥∈N ． 所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+12244442n n --=+++++14(14)4221433n n --=+=+-，2,n n *≥∈N ．…………13分又12S =，满足上式，所以对n *∈N ，1(42)3n n S =+． (14)分。