T——计算截面沿上下游方向的宽度。
从图6-17可知，
M eW
代入下式
y

W T

6M T2

y

W T

6M T2

这个关系式说明： 水平截面的宽度T的中间三分之一是
可得：
当e



T 6
时，
y



0；
“截面核心”，当合力R作用线交于“截 面核心”以内时，上下游边缘的垂直正 应力均为正值，即压应力； 当合力R作用线交于“截面核心”以外 时，靠近交点一侧的边缘上垂直正应力
1


y
psin 2
cos2 u
u
(1 tg2u ) y ptg2u
(1 n2 ) y pn2
同理可得
1 (1 m2 ) y pm2
显然另一主应力即为作用在坝面上的压力强度，分别为：
2 p
2 p
(6)坝体内部应力：用材料力学法计算重力坝的应力时，一般可只计算
边缘应力，如要计算坝体内部应力，可粗略地用内插法，即
① 假定σy 、σx呈直线分布（此假定对坝体上部基本上是正确的）； ——σx呈直线分布是根据具体计算得知而简化的
② 对于τ的分布，可用抛物线连接边缘剪应力，使总的水平向剪应力等于
计算截面以上总的水平荷载。即

pdx dy
y
dx dy
( p y )n
同理可得
( y p)m
式中pˊ、 p〞——分别为计算截面处上下游坝 面的水压力强度（如有泥沙压力和地震动水压力 时也应计算在内）。
n、m ——为上下游坝面坡度，n=tgφu， m=tgφd；注意：上游坝面倾向上游时， n为正， 反之为负；下游坝面倾向下游时， m为正。 φu、φd—分别为上下游坝面与铅直面的交角。
(3)边缘水平正应力 σxˊ 和σx〞 （不考虑扬压力）
对于上游坝面A的微元体，取ΣFx =0得：
x dy dx pds cosu 0
x

p
dx dy
p ( p y )n 2
同理可得
x p ( y p)m2
材料力学公式求得该点的主应力σ1、 σ2和第一主应力方向
φ1。
1 x y ( y x )2 2
2
2
2
1

1 2
arctg(

2 y x
)
式中：φ1以顺时针方向为正， σy>σx,自 铅直线量取； σy<σx,自水平线量取。
画主应力矢量图：用“+”字矢量表示各点的主应力大小与
材料力学法结果
准确结果
满库时，当Ec/Er趋于很小时，即地基非常坚硬时，在坝踵及坝趾的σy均
为拉应力，而截面中部的压应力比材料力学法的计算成果（图中虚线表 示）有较大的增加；
当Ec/Er≈1时，下游坝趾的σy有应力集中的趋势； 当Ec/Er趋于很大时，即地基弹性模量很低时， σy不仅在坝趾出现显著
水工建筑物
赖国伟
2020年3月1日
第四节 重力坝的应力分析
重力坝应力分析目的及意义 重力坝应力分析的计算方法 应力分析的材料力学法 各种因素对坝体应力的影响 应力控制标准
第四节 重力坝的应力分析
一、应力分析的目的与方法 1. 目的：
➢ 检验坝体在施工期和运用期是否满足强度方面的要求。 ➢ 为布置坝身材料(如混凝土分区)提供依据； ➢ 为坝体的某些部位（如孔口、廊道等）配置钢筋提供依据。 ➢ 为改进结构型式和科学研究提供依据。
3、边缘应力计算
作用力与应力的正方向规定：如右图所示。 ① XY坐标系原点放在下坝面，X坐标轴指向
上游，Y坐标轴向下为正； ② 取水平外力以指向上游为正，铅直外力以
向下为正，力矩以反时针方向为正； ③ 正应力以压为正（与弹力符号相反），剪
应力以微分体的拉伸对角线在一、三象限 为正（与弹力符号相同）。 为便于区别，上下游边缘应力分别用上标 “′” 和“″”加以标注。
(1)水平截面上的边缘垂直正应力σyˊ 和σy 〞（不考虑扬压力）
假定任一水平截面上的垂直正应力σy呈直线分布，可用材料力学偏心 受压公式计算。
y

W T

6M T2

y

W T

6M T2

式中：
ΣW——作用在计算截面以上全部荷载的铅直分力总和。 ΣM——作用在计算截面以上全部荷载对截面形心的力矩总和。
2. 分析方法：
➢ 材料力学法——规范使用，重点讲解。 ➢ 数值方法——有限元法、块体元法、流形元法——没有控制标准。 ➢ 模型试验法
（计算时：计算方法＋参数＋标准——要配套）
二、应力分析的材料力学法 1、基本假定： （1）坝体材料为均质、连续、各向同性的弹性材料。 （2）坝段为固结于地基上的悬臂梁，各坝段独立工作，横缝不
x ( p pu ) ( p pu y )n2
令pu 〞为下游边缘的扬压力强度，同理可得：
( y pu p)m
x ( p pu) ( y pu p)m2
上游边缘主应力为：
力的作用 ） 。
T——计算截面沿上下游方向的宽度。
求出边缘正应力σyˊ 和σy 〞后， 其他边缘应力仍可根据坝面微元 体的平衡条件求得，以上游边缘 应力为例（图6-16）。
令puˊ为上游边缘的扬压力强度， 由ΣFy =0和ΣFx =0的平衡条件
可得：
( p pu y )n
1

(1
n2
)
y
( p
pu
)n 2

2 p pu

下游边缘主应力为：
1 (1 m2 ) y ( p pu)m2
2 p pu
☞当无泥沙压力和地震动水压力时， pˊ、 p〞即为作用在坝
面上的静水压力强度，且等于puˊ 、 pu 〞 ，上述公式中 （pˊ -puˊ）和（p〞- pu 〞）均为零。
T
∑P——用应力计算时的
dx P 符合规定，指向上游为正 （与推导稳定计算公式中
0
故有
的∑P指向规定相反）。
a1 b1x c1x2
其中
a1
b1


2 T
(


2


3
T
P
)
c1

3 T
(



2 P)
T
坝内主应力
求得把内各点的三个应力分量σy、τ、σx后，可根据
有限元法计算混凝土重力坝上游垂直应力时，控制标准为：
（1）坝基上游面
计扬压力时，拉应力区宽度宜小于坝底宽度的0.07倍（垂直拉应力分布 宽度/坝底面宽度）或坝踵至帷幕中心线的距离。
（2）坝体上游面
计扬压力时，拉应力区宽度宜小于计算截面宽度的0.07倍或计算截面上 游面至排水孔（管）中心线的距离。
1


y
psin 2
cos2 u
u
(1 tg2u ) y ptg2u
(1 n2 ) y pn2
分析：由上游边缘主应力σˊ计算式（上式）可以得出，当上游坝面 倾斜，即n>0时，即使σyˊ ≥0，如果σyˊ < pˊ sin2φu，上游坝面主应 力σˊ仍会成为拉应力。因此重力坝的上游坝面坡度n一般都取得很
当e


T
时，
6

为压应力，远离交点一侧边缘上的垂直
0。 正应力为拉应力。
y
这个概念对重力坝的设计十分重要。
(2)水平截面上边缘剪应力 τˊ 、 τ〞 （不考虑扬压力）
对上游坝面A点三角形微元体，根据力的平衡条件ΣFy =0，得
pds sin u dy ydx 0
方向， 表示拉应力， 表示压应力，矢量长度代表主应力的
绝对值。
（应力是矢量）
三、非荷载因素对坝体应力的影响 1、地基变形对坝体应力的影响
材料力学法中假定任何水平截面在变形后仍保持为平面。 坝底面不可能呈平面变形，坝下部用材料力学法计算误差大：
地基变形使坝底面以上约1/3～1/4坝高范围内的应力分布与材料力学法 的计算结果有较大的差别，其中以坝底面的差别最大。
(4)边缘主应力σˊ 和σ〞 （不考虑扬压力）
因主应力作用面上无剪应力，故上下游坝面即为主应力面之一（水库淤 沙内摩擦角为零条件下），而另一主应力面必然与坝面垂直。
为求边缘主应力，取如图6-16（c）所示的三角形微元体，由作用在上游 坝面微元件上力的平衡条件ΣFy =0可得σˊ 。
1dx cosu cosu pdx sin u sin u y dx 0
传力。 （3）地基的变形对坝体的应力没有影响。 （4）水平截面上的垂直正应力呈直线分布（平面假定）。
2 、计算单元、计算截面
（1）计算单元：沿坝轴线方向，取单位坝宽 为计算单元。（对溢流坝段，取一个坝 段为计算单元。）
（2）计算截面：在计算单元的横剖面上，截 取若干个控制性水平截面进行应力计算。
☞一般选取坝基面、上下游折坡处、坝体削弱 部位（廊道部位等）以及需要计算坝体应 力的部位。
小乃至为零，以防上游坝面出现主拉应力。（上游坝坡越缓，Φu越 大， sin2φu越大， σˊ可能为负，出现拉应力。因此上游坝坡坡角 Φu不宜过大，亦即上游坝坡n不宜过大。）
对下游坝面，因p〞较小，故下游坝坡m可较大。
(5)有扬压力时边缘应力的计算
以上所列边缘应力的计算公式均未计入扬压力的影响，对于刚建成的或 刚开始蓄水的坝，在坝体内或坝基中尚未形成稳定渗流场时，若要考虑 坝踵和坝趾的应力状态则利用上述公式计算（可以不考虑扬压力 ）。