考虑梁边缘上的B点
正应力等于0，切应力最大 正应力最大，切应力为0
单向拉伸斜截面上的应力
q
q
F
a
B
sa ta
经过计算可得到单向拉伸 斜截面上的应力为:
F 2 2 s a cos a scos a A
ta
s
2
sin2 a
q
BA
q
s
A
s
即使同一点在不同 方位截面上，它的应力 也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
a 0 45 或
a 0 135
a 0 45 或
T
A
a 0 135
T
n1和n2是截面的法线。因此 主单元体应如图所示
t s1 t
n2
y
s3
x
45
3个主应力按照代数排序
s 1 s max t
s2 0
s 3 s min t
s3
135
t t s1
n1
π 2a1 2a 0 2 π a1 a 0 4
1 tan2a 0 tan2a1
最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°
30MPa 30MPa
求斜截面上的应力及三个主应力 30
50MPa
例14-2 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破 坏现象。
T
T
T
z
空间应力状态中： 3 广义胡克定律
t max
y
tyx sx txy txz tzy
sz txz
sx
x
tyz txy tyx sy
胡克定律: ε
sy sz sx sz sy
s
E
横向应变:
ε
sy
s
E
sz
sx = sx
sx +
+
sy
sz
x
sx
1 x s x s y s z E
a
sx txy
sa a ta t
sy tyx
n x
数学整理后，可得 任意斜截面上的正应力和切应力:
sa
sx sy
2

sx s y
2Leabharlann cos2a t xsin2 a
ta
sx s y
2
sin2 a t x cos2a
30MPa
20MPa
例14-1 单元体如图 ，求 的斜截面上的应力
I I q
t st A s t t
I a l I
I
t s t
x
取x轴向上：
s
tt s A s t t
s x 0 s y 70MPa t x 50MPa
2t x tan2 a0 sx s y
A
t t
I

2a 0 55 or 235
a 0 27.5 or 117.5
30MPa
20MPa
sa
ta
10MPa
sx s y
ta
2 10 30 sin 60 20cos60 2 1.34MPa
sin2 a t x cos2a
可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以
对a求导数可得到其极值。
2 应力极值
sa
sx sy
2

sx s y
s 1s 2 s 3
单向、二向、三向应力状态
三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态
z F x
正应力分布
切应力分布
中性层
y
t
x
A
t A t
t
三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态
sz sy sx sy sz sx
cos2a t xsin2 a
2 50 1.429 0 70
sa
sx sy
s max
2 2 26MPa (a 27.5) s min 96MPa (a 117.5)

sx s y
代入 a 0 27.5 or 117.5
I
tt s A s t t
s1 t t
n2
y
T
s3
x
45
T
s3
135
t t s1
n1
圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为 45°的螺旋面。由于铸铁抗压不抗拉，试件将沿这一螺旋面因 拉伸而发生断裂破坏。
T T
例14-3 如图所示横力弯曲的梁，求出I-I截面上的弯矩和剪力后， 计算得到单元体A上的正应力 s = -70MPa, 切应力t =50MPa， 确定该点的主应力大小及主平面的方位。
a 30
a
a
x
解： 建立坐标系
10MPa
s x 10 MPa s y 30 MPa t x 20 MPa
sa
sx sy
2 2 10 30 10 30 cos60 t xsin 60 -2.32MPa 2 2

sx s y
cos2a t xsin2 a
微元单元体
dx
A dy
dz
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化；
单元体各个面上的应力是均匀分布的；
两个平行面上的应力大小相等。
回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:
同一面上不同点的 应力各不相同。 此即应力的点的概念
z F x
正应力分布
切应力分布
中性层
y
t
x
A B
t A t
t s
B
s
考虑中性层上的A点
为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条 件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
计算应力一定要指明：
哪一个面上？ 哪一点？
围绕一点取单元体
F
A
F
dx dy dz 0
F
n
0
Ft 0
dA
s a dA s x dAcosa cosa t x dA cosa sina s y dAsina sina t y dAsina cosa 0 t a dA s x dA cosa sin a t x dA cosa cosa s y dA sin a cosa t y dA sin asina 0
X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正
sx
sa a ta
sy
n
sx
dA
a
sx txy
sa a ta t
sy tyx
n x
x
txy
F
n
0
Ft 0
s a dA s x dAcosa cosa t x dA cosa sina s y dAsina sina t y dAsina cosa 0 t a dA s x dA cosa sin a t x dA cosa cosa s y dA sin a cosa t y dA sin asina 0


sx
txy txz sz
z
tzx tzx tzy
sx
x


tyz txy tyx sy


切应变和切应力之间， 与正应力无关，因此:
xy
t xy
G
yz
t yz
G
zx
t zx
G
以上被称为广义胡克定律。
当单元体的周围六个面皆为主平面时:
s2
s3 s1
1 1 s 1 s 2 s 3 E 1 2 s 2 s 1 s 3 E 1 3 s 3 s 2 s 1 E
14-2 平面应力状态分析
1 斜截面上的应力 二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的 单元体如图：
sy tyx sx txy sy sx
sx tyx
sy
sx txy
sy 正应力 拉伸为正 压缩为负
切应力 绕单元体顺时针转为正，反之为负
斜截面上的应力
tyx sy
通过截面外法线的方位定义截面的位置
sy t
sx
B
sx t
t sy
t
主单元体、主应力与主平面
sz sy sx sy sz sx
主单元体(Principle body)： 各侧面上切应力均为零的单元体。 主平面(Principle Plane)：
切应力为零的截面。
主应力(Principle Stress ）：
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
得到以下结论:
2t x tan2 a0 sx s y
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值； 2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式，
计算得到最大和最小正应力
2
s max s x s y sx s y 2 t x 2 s min 2
A
T
t t
y
x
t
圆轴扭转时，在横截面的边 缘处切应力最大，其数值为:
sx 0 sy 0
tx t
t
2
s max s x s y sx s y 2 T t x t t max 2 s min 2 Wt 2t x 在圆轴表层，取出单元体。 tan2 a0 sx s y