练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案）
1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()⎰=L
dx y x P I ,。
解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴⎰L
dx y x P I 。
2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()⎰=L
dy y x Q I ,。
解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴⎰L
dy y x Q I 。
3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()⎰=L
dx y x P I ,。
解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ，
所以()()⎰⎰==b
a L dx x f dx y x P I 0,,。
4、计算⎰=L
xydx I ，其中L 为圆周()()0222
>=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。
解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半
圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=，
又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2，
2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰-++⋅=+==π
θθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022
sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=+-=⎰⎰⎰⎰d a d a d a d a 222
2212a a ππ-=⨯⨯-=。
5、计算⎰Γ
+-=ydz dy dx I ，其中Γ为有向折线ABCA ，这里A ,B ,C 的坐标分别为()0,0,1，()0,1,0，()1,0,0。
解：Γ可以分成光滑有向线段AB ，BC 和CA 。
又因为AB ：0=z ，1=+y x ，y 从0变化到1，
BC ：0=x ，1=+z y ，z 从0变化到1，
CA ：0=y ，1=+z x ，x 从0变化到1， 所以，⎰⎰⎰⎰+-++-++-=+-=ΓCA
BC AB ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx I ()()()⎰⎰⎰-⨯+++-+--+⨯+--=10101000100dx dx dz z dz y dy dy 2
11232=++-=。
6、计算()()⎰-++=L
dy x y dx y x I ，其中L 是先沿直线从点()1,1到点()2,1，再沿直线到点()
2,4的折线。
解：设点()1,1，()2,1和()2,4分别为点A ，B 和C ，那么L
可以分成光滑有向线段AB 和BC 。
又因为AB ：1=x ， y 从1变化到2，
BC ：2=y ， x 从1变化到4，
所以，()()()()()()⎰⎰⎰-+++-++=-++=BC AB L
dy x y dx y x dy x y dx y x dy x y dx y x I ()()()()()()⎰⎰⎰⎰=++-=⨯-+++-+⨯+=41214
1211421022101dx x dy y x dx x dy y y 。
7、计算()()⎰-++=L
dy x y dx y x I ，其中L 是曲线122++=t t x ，12+=t y 上从点()1,1到点()2,4的一段弧。
解： 因为点()1,1在曲线L 上，所以1212++=t t ，112+=t ，所以0=t ，
因为点()2,4在曲线L 上，所以1242++=t t ，122+=t ，所以1=t ，
又因为L ：122++=t t x ，12+=t y ， t 从0变化到1，
()()()()()()()()()
⎰⎰++-+++++++=-++=∴102222212114112tdt t t t dt t t t t dy x y dx y x I L ()33222935410295101
0 2341023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+++=⎰t t t t dt t t t 。
8、设有向曲线弧Γ在任意一点()z y x ,,的切向量的方向角为α，β，γ，利用两类曲线积分的关系，试把第二类曲线积分⎰Γ
++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分。
解：⎰⎰Γ
Γ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα
9、把对坐标的曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分，其中L 是xoy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1。
解：因为L ：x y =， x 从0变化到1，所以有向曲线的切向量为()1,1，所以22cos =α，2
2cos =β。
()⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∴L
L L ds Q P ds Q P Qdy Pdx 222222。
10、把对坐标的曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分，其中L 是沿抛物线2
x y =从点()0,0到点()1,1。
解：因为L ：2x y =， x 从0变化到1，注意到参变量是从大到小的变化过程，有向曲线的切向量为()x dx dy 2,1,1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛， 所以2411
cos x +=α，2412cos x x +=β。
()⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=+∴L L L ds xQ P x ds Q x x P x Qdy Pdx 2411412411222。
11、把对坐标的曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分，其中L 是沿抛物线2
x y =从点()1,1到点()0,0。
解：因为L ：2x y =， x 从1变化到0，注意到参变量是从大到小的变化过程，所以有向曲线的切向量为()()x x dx dy 2,12,1,1--=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-， 所以2411
cos x +-=α，2412cos x x +-=β。
()⎰⎰⎰++-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++-=+∴L L L ds xQ P x ds Q x x P x Qdy Pdx 2411412411222。