P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
P [ (t ), (t )] (t )dt

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证明: 下面先证

根据定义 设分点 xi 对应参数 ti ,
n
lim P( i , i ) xi
0 i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i )ti
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
0 i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 解决办法: “分割” “近似” “求和” “取极限”
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x
F
A
W F AB cos
B

F AB
1) “分割”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
2x x2
机动
(1 x )
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x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )

小结：


P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
2 0


(1 4 cos t ) d t 2
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2
o x
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y
结束
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos , cos ds ds 则两类曲线积分有如下联系
L P( x, y) d x Q( x, y) d y
记作

L
F d r
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
其中dr (dx, dy)称为有向曲线元
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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因为F dr ( P( x, y), Q( x, y))(dx, dy) Pdx Qdy
可定义 F d r P( x, y, z)dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz

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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
L 1
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1
例3. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
o 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则
L
y d x a 2 sin 2 t (a sin t )d t
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1;
x y
o
4
yx
1 3 x dx 0
(3) 有向折线 L : OA AB . 解: (1) 原式
A(1, 0 ) x
(2) 原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y
0
1
(3) 原式

Q [ (t ), (t ) , (t )] (t ) R [ (t ), (t ) , (t )] (t )d t
2. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
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记 F 在 t 上的投影为 A F d r
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例6.将积分 分, 其中L 沿上半圆周 解： y 2 x x , d y
2
化为对弧长的积
1 x 2x x
2
2
dx y
所以切向量为(1,
1 x
2x x
)
o
B x
L P( x, y) dx Q( x, y) d y
b
对空间光滑曲线弧 :
x (t ) y (t ) t : , 类似有 z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )

(t )
(t )
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例1. 计算
(2) 抛物线
其中L为
2
0

2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则
3
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例5. 求
从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 的参数方程
其中
x cos t , y sin t , z 2 cos t sin t ( t : 2 0 ) z (2 2 cos t sin t ) cos t
y
B ( 1, 1 )
y x
AO : y x , x : 1 0 OB : y x ,
x yd x
L AO
x : 0 1
OB
o
Hale Waihona Puke y x1 3x
x yd x
x yd x
2 x
0 2
A(1,1)
解法2 取 y 为参数, 则
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
( 2x 0 x 0 )d x ( 2 y 0 1)d y
2 0 0
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1
1
A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段.
2 例2. 计算 x yd x , 其中L 为沿抛物线 y x 从点
L
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且
x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有
所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “近似” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk


P cos Q cos R cos ds
令 F ( P , Q , R), d r (d x , d y , d z )
(cos , cos , cos ) 为单位切向量
F d r


F d s
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3) “求和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n

4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
第十章
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))
P [ x( s), y ( s)] cos Q [ x( s), y ( s)] cos ds
0 l
P( x, y ) cos Q( x, y ) cos ds
L
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
对坐标的曲线积分也可写成 F d r = P( x, y )d x Q (x , y )dy