在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常 用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有 （a≠0）： ①标准式：y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式：y＝a(x－k)2＋m； ③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方 程ax2＋bx＋c＝0的二根).
例１ 已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都 是 ，求f(x)．
∴
f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－
5 ． 2
例2 已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的 大小。
f(x)为二次函数，f(a)=f(b)
y

ab f(x)的对称轴为x 2
f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x)
Δ＝b2－４ac＞０，
b＞０， f(m)
y
－
2a
>m，
O m
x1
x2 x
Δ＝b2－４ac＞０，
或 (x1－m)(x2－m)＞０，
(x1－m)＋(x2－m)>０．
(3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．
y
x1 O
m x 2 x
(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０，
1 9 2
19 2
19 解二 ∵ f（－３）＝f（２）＝ ， 2
3 2 1 ∴ 抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝ ，即x＝－ ， 2 2
故其顶点坐标为（－ 1 ，－３）．
1 设 f(x)＝a(x＋ 2 )2－３． 1 19 ２ ∵ f(2)＝a (2＋ 2 ) －３＝ 2 4 25 2
∴ a＝
证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋c－ ， 4 2 b 抛物线的对称轴x＝－ ， 2
b 当 b＜－2时, － ＞1(如图) ∴ 当b＜－2时， 2
f(x),x∈[－1，1]是递减函数。
(2)假设在x∈[－1，1]内在存在 1 1 1 |f(x)|≥ ，则有－ ＜f(x)＜ 2 2 1 2 1 ∴ f(－1)＝1－b＋c＜ ，f(1)＝1＋b＋c＞－ 2 2 1 联立解得b＞－ 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立。 2
判别式△＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图像
△＞0
△＝0
△＜0
有两相异实根：
一 元 二 次 不 等 式
的 解 集
ax2＋bx+c=0
(a≠0)的根 ax2＋bx＋ c>0 (a＞0) ax2＋bx+c<0 (a＞0)
x1,2＝ x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2
有两相等实根x1 ＝x2＝所有不等于－ 的实数 空集
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根的分布
x2>x1>m
x1＜x２＜m
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
函数图像 m x1 x2 x1 x2 m x1
m x2
m x1
n x2
2 2 韦达定理Δ＝b －４ac＞０， Δ＝b －４ac＞０， (x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)(x2－m)＜０
变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一 个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。 变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且 x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围。
变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求 x12+x22的取值范围。
∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根．
如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１． 如方程有两个正实根，则:
Δ＝m2＋４(m－１)≥０， m≥－２＋
1 x1 x2 ＝ ＞０， m 1 m x1＋x2＝－ ＞０， m 1
2或 2m≤－２－
，2 2
m＜１，
０＜m＜１．
由此得，实数m的范围是m≥ 2 2 －２. ∴ 2 2－２≤m＜１．
二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况， 可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1＜x２＜m ，则应有
Δ＝b2－４ac＞０， f(mb )＞０， －
2a
y
＜m，
x1 O
x2
m
x
Δ＝b2－４ac＞０，
或 (x1－m)(x2－m)＞０，
(x1－m)＋(x2－m)＜０．
二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况， 可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1>x２>m ，则应有
没有实根
全体实数 空集
课前练习
１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ C ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则 它的图像可能是（ B ）
A
B
C
D
3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ C ） 4 3 5 Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3 2 4 4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等 于１，则t的值是（ B ） Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.２ Ｄ.－２ 5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３m＋６ 的图像如图所示，则实数m的取值范围 是（ A ） Ａ.m＞２ Ｂ.m＞ Ｃ.m＞１ Ｄ.m＞０ 6. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( A ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x) ＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达 定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图 像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有 一个实数根．
例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正 根，求实数m的取值范围。 变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大 于2，求实数m的取值范围。 变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小 于2，求实数m的取值范围。
解法一 解: : 设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得
＋b (－３)＋c＝ 1 2 a (２) ＋b× 2＋c＝ 9 2 4ac b 2 ＝－３ (a＞０)． 4a 19 a=2 ９a－３b＋c＝ 2 解之得 b＝２, 5 19 ４a＋２b＋c＝ c＝－ 2 2 b2－４ac－１２a＝０ 5 2 ∴ f(x)＝２x ＋２x－ ． 2 a (－３)2
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(m)＞０，
f(n)＞０，
b m＜－ ＜n. 2a
x1 m O x2 n x
(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０，
y
f(n)＜０．
x1 m n x2 O
x
例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个 正根，求实数m的范围． 解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件． 若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．
(x1－m)＋(x2－m)>０ (x1－m)＋(x2－m)＜０ 图像 Δ＞０， f(m)＞０， － Δ＞０， f(m)＞０， －
表示比较复杂， 繁琐 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， f(n)＞０， b m＜－ ＜n.
方法
b ＜m， 2a
b >m， 2a
f(m)＜０
2a
25 2 5 ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ． 2

＝２．
.
解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次
19 方程f(x)－ ＝０的两个实数根． 2 19 设 f(x)－ ＝a(x＋３)(x－２), 2 19 则 f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋ ． 2 3 2 1 1 又当x＝ 2 ＝－ 时，f(－ )＝－３． 2 2 1 1 19 ∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， 2 2 2 25 25 － a＝－ ， a＝２． 4 2
f(x)的对称轴为x=c 若x<0, 则1>2x>3x
-1 a O 1 2b 3 x
∴ f(2x)< f(3x)
若x=0， 则1<2x<3x ∴ f(2x)< f(3x) 若x=0，则1<2x<3x， 综上所得，f(2x)≤ f(3x)。
ab x 2
例3 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试 证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成 立。 b2 b