y
x
O
课时17．二次函数及其图象
【课前热身】
1．将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________.
2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的
图象，
那么a 的值是______.
3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1
4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是()
A.(5，3)
B.(-5，3)
C.(5，-3)
D.(-5，-3)
5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.a ＞0，b ＜0，c ＞0B.a ＜0，b ＜0，c ＞0 C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＞0，c ＞0 【知识整理】 1.解析式：
(1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0)
(2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ). (3)两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0).
注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和
y
x O
对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质
a ＞0 a ＜0
图象
开口 对称轴 顶点坐标
最值
当x =_______时，y 有最 _____值为________.
当x =_______时，y
有最 _____值________.
增
减
性
在对称轴左侧
y 随x 的增大而______
y 随x 的增大而
______ 在对称轴右侧
y 随x 的增大而______
y 随x 的增大而
______
3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________.
4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中
h =____，k =________.
5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系.
6.二次函数y =ax 2+bx +c 图象与a ，b ，c 符号的关系.
(1)a 决定抛物线开口方向：a ＞0时抛物线开口向上；a ＜0时抛物线开口向上；
(2)a 、b 决定对称轴x =-2b
a
的位置：ab ＞0时对称轴在y 轴左侧；b =0时对称轴为y 轴；
ab ＜0时对称轴在y 轴右侧.
(3)c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c ＞0时抛物线交y 轴于正半轴；
c =0时抛物线过原点；c ＜0时抛物线交y 轴于负半轴.
【例题讲解】
例1已知二次函数y =x 2+4x .
(1)用配方法把该函数化为y =a (x -h )2+k (其中
a 、h 、k 都是
常数且a ≠0)形式，并求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数的图象与x 轴的交点坐标； (3)直接画出函数的图象.
例2求满足下列条件的二次函数解析式.
(1)一个二次函数的图象经过点(0，0)，(1，-3)，(2，-8). (2)抛物线与x 轴交于点(-2，0)和(1，0)，与y 轴交点的纵坐标是9.
(3)抛物线y =ax 2+bx +c 图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，6). 例3如图，直线y =x +m 和抛物线y =x 2+bx +c 都经过点A(1，0)，B(3，
O
y
x
B
A
2).
(1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集．(直接写出答案) 【中考演练】
1.抛物线y ＝-x 2+1的开口向＿＿＿，对称轴是＿＿＿_＿.
2.抛物线y =(x -2)2的顶点坐标是_________.
3.将抛物线y =2x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，最后所得的抛物线的解析式为_________________.
4.函数y =x 2
+bx +3的图象经过点(-1，0)，则b =_________. 5.二次函数y =(x -1)2
+2，当x =______时，y 有最小值.
6.函数y =3(x -1)2
+3，当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大. 7.将y =x 2-4x +3化成y =a (x -h )2
+k 的形式，则y =________________. 8.若点A(2，m )在函数y =x 2
-1的图象上，则A 点的坐标是__________. 9.抛物线y =2x 2
+3x -4与y 轴的交点坐标是___________.
10.已知二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象如图所示：则这个二次函数的解析式是y =___________.
11.请写出一个开口向上，对称轴为直线x =2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式________________. 12.已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解为_______________. 13.在圆的面积公式S=πr 2中，S 与r 的关系是()
A.一次函数关系
B.正比例函数关系
C.反比例函数关系
D.二
x
y
O 1 1 2 -1
D
C B A
o
y
x o y
x o
y x o y
x 次函数关系
14.已知函数2
2
(2)m
y m x -=+是二次函数，则m 等于()
A.±2
B.2
C.-2
D.2
15.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落时间t 满足s ＝
12
gt 2
(g =9.8)，则s 与t 的函数图象大致是()
A. B. C.
D.
16.抛物线y =-x 2
不具有的性质是()
A.开口向下
B.对称轴是y 轴
C.与y 轴不相交
D.最高点是原点 17.函数y =ax 2与y =ax +b (a ＞0，b ＞0)在同一坐标系中的大致图象是()
18.已知函数y =x 2-2x -2的图象如下图所示，根据其中提供的信息， 可求得使y ≥1x A ．-1≤x ≤3B．-3≤x ≤1 C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥3
19.已知二次函数y =ax 2-4x +3的图象经过点(-1，8). (1)求此二次函数的解析式；
(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
s t O
s
t
O
s t
O
s O
x 0 1 2 3 4
y
(3)根据图象回答：当函数值y＜0时，x
的取值范围是什么？
20.已知二次函数
y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0，
5).
(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；
(2)求出二次函数图象的顶点坐标，对称轴.
21.一次函数y=2x+3，与二次函数y=a(x-h)2+k的图象交于A(m，5)和B(3，n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；
(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.
(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值.。