设函数 f (x ) 连续可导, P = Q = R = f (x 2 + y 2 )z , 有向曲面 Σt 是圆柱体 x 2 + y 2 6 座位号 t 2 ; 0 6 z 6 1 的表面, 方向朝外. 记第二型的曲面积分 “ It = P dy dz + Q dz dx + R dx dy
Σt
求极限 lim 考场号
上述两切面的交线就是 Γ 在 P0 点的切线, 该切线在 xOy 面上的投影就是 S 过 (x0 ; y0 ) 的切线. 消去 z z0 , 我们得到
(Fx Gz 这里 x x0 的系数是
Gx Fz )P0 (x
密
x 0 ) + ( F y Gz 第 2 页, 共 6 页
Gy Fz )P0 (y
y0 ) = 0 ; Þ
(3 分)
机
1 1
准考证号
R1 Rt 2 0 0 f 0 (r 2 z )r 3 dr dz It lim = lim t4 t !0+ t 4 t !0+ R1 0 2 3 Z 1 2 0 f (t z )t dz = lim = lim f 0 (t 2 z ) dz = f 0 (0) 4t 3 2 t !0+ t !0+ 2 0
6 f (x ) 6 1 成立.
1, 则所给方程可变形为 Z
0 x
(1 + x )f (x ) + (1 + x )f (x ) 两端对 x 求导并整理得
f (t ) dt = 0
(3 分)
(1 + x )f 00 (x ) + (2 + x )f 0 (x ) = 0 这是一个可降阶的二阶微分方程, 可用分离变量法求得 f 0 (x ) = 省市 Ce x 1+x
0
Z
1
省市
第 1 页, 共 6 页
解. 1= 6 = 即 Z
0 1
Z
0
1
f (x ) dx =
1 2
Z0Βιβλιοθήκη 1f (x ) p
p
1 + x2
ÂZ
0
(1 + x )f (x ) dx
1
1 + x2 1 Ã 2 ÂZ 1
0
1 Ã2
dx Ã1 2
1 dx 1 + x2
ÂZ
0
(1 + x 2 )f (x ) dx , 取 f (x ) =
考场号
1 1 1 f (x + h) = f (x ) + f 0 (x )h + f 00 (x )h2 + f 000 (x )h3 + f (4) (Â )h4 2 6 24 1 f 00 (x + Âh) = f 00 (x ) + f 000 (x )Âh + f (4) (x )h4 2
密封线 答题时不要超过此线
一、 计算下列各题 (本题满分 28 分, 共 4 小题, 每小题 7 分) Z 2x Z 2 sin2 t 1. 计算积分 x dt dx t2 0 x
姓名
解. 法 I (二重积分换序)
机
=2 Z
0
准考证号
Z t Z Z 2 1 2 sin2 t 交换积分次序 d t x d x = sin2 t dt 原式 H H H H H H H H H 2 t 2 0 0 0 ÂZ à Z Z 2 1 = sin2 t dt + sin2 t dt = sin2 t dt 2 0 0 „ ƒ‚ …
第五届中国大学生数学竞赛决赛参考答案
（非数学类, 2014 年 3 月）
座位号
绝密 F 启用前
(14 金融工程–零蛋大)
考试形式： 闭卷 考试时间： 180 分钟 满分： 100 分
题号 一 28 二 12 三 12 四 12 五 12 六 12 七 12 总 分 100
考场号
满分 得分
注意：1: 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效: 2: 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记: 3: 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号:
0 1
dy
Z
0
1
f (x; y ) dx =
Z
0
1
dy
Z
0
1
f (x; y ) d(1
Z
0
1
密
x) = Z
1
ˇx =1 ˇ x )f (x; y )ˇ = 0, 由分部积分法可得
x =0
f (x; y ) d(1 Z
(1
x)
0
@f (x; y ) dx @x
(3 分)
交换积分次序得
1
I = 因为 f (x; 0) = 0 所以 Z
学校
A = P T P ; B = QT Q 于是 AB = P T PQT Q 所以 (P T ) ABP T = PQT QP T = (QP T )T (QP T ), 即 (P T )
1
(1
x ) dx
Z
Z 1 Z 1 @f (x; y ) @2 f @f (x; y ) dy = d(1 y ) = (1 y ) dy @x @y @x@y 0 0 0 “ Z 1 Z 1 @2 f @2 f I = (1 x ) dx (1 y ) dy = (1 x )(1 y ) dx dy @x@y @x@y 0 0 D “ @2 f 因 6 A, 且 (1 x )(1 y ) 在 D 上非负, 故 I 6 A (1 x )(1 y ) dx dy = @x@y D
(2 分)
密封线 答题时不要超过此线
从而 It = =
姓名
• Z
0
V 1ÄZ 2 0
密
d Z
t 0 2 3 0 T T T
(x 2 + y 2 )f 0 (x 2 + y 2 )z dx dy dz f (r z )r dr dz = 2 Z
0 1ÄZ t 0
f 0 (r 2 z )r 3 dr dz
(2 分)
(2 分)
第 3 页, 共 6 页
e x , 可见 f (x ) 单调递减. 1+x 而 f (0) = 1 , 所以当 x > 0 时, f (x ) 6 1 e t 对 f 0 (t ) = < 0 在 [0; x ] 上进行积分得 1+t Z x Z x e t f (x ) = f (0) dt > 1 e t dt = e 0 1+t 0 由 f 0 (0) = 1得C = 1, f 0 (x ) =
0 1 2 B 4. 设矩阵 A = B @3 4 1 2 E 是单位 矩阵且 B
机
1
2 ¤ E . 若秩 rank(A + B ) = 3 ，试求常数 a 的值. B + E ，得 H) (A + E )(B E) = 0
C aC A，其中 a 为常数，矩阵 B 满足关系式 AB = A
@(F; G ) ¤ 0 , 故上式是一条直线的方程, 就是所要求的切线. @(x; z ) 1
解. 由高斯公式 It = = 由对称性
t !0+
It . t4 • Â •V
V
à @Q @R @P + + dx dy dz @x @y @z (3 分)
(2xz + 2yz + x 2 + y 2 )f 0 (x 2 + y 2 )z dx dy dz
•
V
(2xz + 2yz )f 0 (x 2 + y 2 )z dx dy dz = 0
4
Á1 2
(1 + x 2 )f (x ) dx >
4
4 即可 (1 + x 2 )
Þ
3. 设 F (x; y; z ) 和 G (x; y; z ) 有连续偏导数,
F (x; y; z ) = 0 @(F; G ) ¤ 0, 曲线 Γ : 过点 @(x; z ) G (x; y; z ) = 0 P0 (x0 ; y0 ; z0 ). 记 Γ 在 xOy 平面上的投影曲线为 S . 求 S 上过点 (x0 ; y0 ) 的切线方程. 解. 由两方程定义的曲面在 P0 (x0 ; y0 ; z0 ) 的切面分别为 Fx (P0 )(x Gx (P0 )(x x0 ) + Fy (P0 )(y x0 ) + Gy (P0 )(y y0 ) + Fz (P0 )(z y0 ) + Gz (P0 )(z z0 ) = 0 ; z0 ) = 0 ;
机
0
@f (x; 0) = 0, 从而 (1 @x
@f (x; y ) dy (2 分) @x 0 ˇy =1 @f (x; y ) ˇ ˇ y) = 0. 再由分部积分法得 @x ˇy =0 (2 分) (2 分) A . 4 (3 分) Þ
1
第 4 页, 共 6 页
五、 (本题满分 12 分)
(2 分)
x
(3 分)
四、 (本题满分 12 分)
设 D = f(x; y )j0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1g, I =
“
D
f (x; y ) dx dy , 其中函数 f (x; y ) 在 D 上有 @2 f A 6 A. 证明 I 6 @x@y 4 x ):
连续二阶偏导数. 若对任何 x; y 有 f (0; y ) = f (x; 0) = 0 且 解. I = 对固定 y , (1 Z
E) 6 3
E) = 3 1，只有 rank(A + E ) = 2 1 0 13 2a C 13 1 a 9 C A H) a = 2 2 3 Þ