当 x＜-3 时 （f x）＜0，即 x·（f x）＞0 不符合题意，当-3＜
x＜0 时 （f x）＞0，即 x·（f x）＜0 符合题意；当 0＜x＜3 时 （f x）＜
0，即 x·（f x）＜0 符合题意；当 x＞3 时 （f x）＞0，即 x·（f x）＞0
不符合题意，故选 D.
变式 1 若函数 （f x）是奇函数，且在（0，+∞）内是
∴（姨 3
-
姨3 2
λ）2+（ 姨 2 2
- 姨2 2
λ）2-11=0，化简解
得
λ1=3
或
λ2=
1 5
，
将 λ1=3 代入(7)便得所求圆的方程是:
其圆心
C（6-6λ，4+
9
姨 2
3
λ），
∵
圆心
C（6-6λ，4+
9
姨 2
3
λ）在抛物线 A:
x2=2y+18（2+姨 3 ）上，
2x2+2y2+2姨 3 x+4姨 2 y-1=0，
由函数 g（x）图像可知，当-1＜x＜0 或 x＞1 时 g（x）＞0,
[0，+∞）都有（x1-x2）[f（x1）-（f x2）]＜0，（f 2）=0，则不等式
（x-1）（f x-1）＞0 的解集是（ ）
A（. -3，-1）
B.（-1，1）∪（1，3）
C（. -3，0）∪（3，+∞） D.（-3，1）∪（2，+∞）
变式 2 已知函数 （f x）是偶函数，且坌x1，x2∈[0， 0，所以当 0＜x＜1 时 （f x）＞0 符合题意；当 x＞1 时 g（x）＜0
+∞）都有 （f x1）-（f x2）＜0，（f 2）=0.若 （f xx1-x2
即 （f xx）＜0，所以当 x＞1 时 （f x）＜0 不符合题意，故选故答
增函数，（f 1）=0，则不等式 （f x）-x（f -x）＜0 的解集为（ ）
A（． -1，0）∪（1，+∞）

B（． -∞，-1）∪（0，1）
C（． -∞，-1）∪（1，+∞） D（． -1，0）∪（0，1）
解析 由于函数 （f x）是奇函数，所以 （f -x）=-（f x），
所以将 （f x）-x（f -x）＜0 化为 2（fxx）＜0，即 （f xx）＜0. 因为
x 0 符合题意；当 x＞1 时 （f x）＞0，即 （f x）＞0 不符合题意，
x 故选 D.
由函数 g（x） 图像可知，当 x＜-1 时 g（x）＜0 即 （f x）＜0，所以当 x＜-1 时 （f x）＞
x 0 符合题意；当-1＜x＜0 时 g（x）＞0 即 （f xx）＞0，所以当 -1＜ x＜0 时 （f x）＜0 不符合题意；当 0＜x＜1 时 g（x）＞0 即 （f xx）＞
（f 1）=0，所以 （f -1）=-（f 1）=0，又因为函数 （f x）在（0，+∞）
内是增函数，故画函数 （f x）的大致图像如下：
由函数 （f x）图像可知，
即
x2+y2-
姨
3
（2-λ）x-
姨
2
（1-λ）y-
1 2
=0
……… (7)
其圆心 C（姨 3
-
姨3 2
λ，姨22
-
姨2 2
λ），
所以可把点 P（6，2 姨 3 ）看作点圆，其方程是：（x-6）2+
A（． -∞，-1）∪（0，1） B（． -1，0）∪（1，+∞）
C（． -∞，-1）∪（-1，0） D（． 0，1）∪（1，+∞）
数
解析
设函数
g（x）=
（f x），因为函数 x
（f x）（x∈R）是
学 篇
奇函数，故函数
g（x）=
（f x）是偶函数，又因为当 x
x＞0
时，
36 xf（′ x）-（f x）＜0，所以当 x＞0 时 g（′ x）= xf（′ x）x2-（f x）＜0，即
1）＞0，则 x 的取值范围是 __________.
案选 A.
解析 由于函数 （f x）是偶函数，所以
变式 1 设函数 f（x） 是定义在 R 上的偶函数，
（f -x）=（f x），且 （f 2）=0，所以 （f -2）=（f 2）=
f′（x）为其导函数．当 x＞0 时，（f x）+xf′（x）＞0，且 （f 1）=0，
解题宝典
例谈用数形结合思想解抽象函数不等式
潘敬贞 张应楷
抽象函数不等式是近年来考试的热点，用数形结 合思想是准确快速解答此类问题的有效方法。根据题 意画出已知抽象函数的大致图像，或构造另一个函数 并画出其大致图像，然后由图像可以直接得到不等式 的解。
例 1 若函数 （f x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增 函数，（f -3）=0，则不等式 x·（f x）＜0 的解集为（ ）
x （f x）＞0 符合题意，故答案选 D.
（作者单位：潘敬贞，广东省汕头市澄海华侨中学；张 应楷，广东汕头华侨中学）
0， 又 因 为 坌x1，x2 ∈[0，+∞） 都 有
则不等式 x·（f x）＞0 的解集为（ ）
（f x1）-（f x2）＜0，即函数 （f x）在[0，+∞）内是减函数，故画 x1-x2
A（． -1，0）∪（0，1） B（． -1，0）∪（1，+∞） C（． -∞，-1）∪（1，+∞） D（． -∞，-1）∪（0，1）
即（x-1）（f x-1）＞0 符合题意；当 x＞3 时 x-1＞0，（f x-1）＜0，
即（x-1）（f x-1）＜0 不符合题意，故答案选 B.
例题 2 （2015 课标Ⅱ理 12）设函数 f（′ x）是奇函
数 （f x）（x∈R） 的导函数，（f -1）=0，当 x＞0 时，xf（′ x）-
（f x）＜0，则使得 （f x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ ）
x2+y2+12x-2（4+9姨 3 ）y+16=0，
将
λ2=-
姨3 4
代入(8)便得所求圆的方程是:
4x2+4y2-12（4+姨 3 ）x-5y+52+18 姨 3 =0。
数
评注 例 8 与例 9 虽然有多种解法，但借助把点视 学
作点圆，巧构圆系方程来解一个一元二次方程，从而求出 篇
所求圆的方程，解题过程简便。
函数 （f x）的大致图像如下： 将函数 （f x）图像向右平移一个单位
得 （f x-1）， 故函数 （f x-1）的大致图像如右图： 由函数 （f x）图像可知，当-1＜x＜3 时
（f -1）＞0，故 x 的取值范围为：（-1，3）. 变式 3 已知函数 （f x）是奇函数，且坌x1，x2∈
解析 设 g（x）=xf（x），由于函数 f （x）是偶函数，所以 g（x）=xf（x）是奇函 数，因为 （f 1）=0，所以 g（1）=1·（f 1）=0， 又因为当 x＞0 时，（f x）+xf ′（x）＞0，所以 g′ （x）=f（x）+xf ′（x）＞0，即函数 f（x）在（0， +∞）内是增函数，故画函数 g（x）的大致图像如右图：
（f x）是奇函数，
图： 将函数 （f x） 图像向右平移一个单位
故函数
g（x）=
（f x） 是 偶 函 数 ， 又 因 为 当 x
x ＞0
时，
得 f（x-1），故函数 f（x）的大致图像如右图： 由函数 （f x）图像可知，
xf（′ x）x2-（f x）＞0，所以当 x＞0 时 g′（x）＞0，即函数 g（x）在
A．{x|-3＜x＜0 或 x＞3} B．{x|x＜-3 或 0＜x＜3} C．{x|x＜-3 或 x＞3} D．{x|-3＜x＜0 或 0＜x＜3} 解析 由于函数 （f x）是奇函数，所 以 f（-x）=-f（x），因为 f（-3）=0，所以 （f -3）=-（f 3）=0，所以 （f 3）=0.又因为函 数 （f x）在（0，+∞）内是增函数，故画函数 （f x）的大致图像如右图： 由函数图像可知，
（作者单位：四川省绵阳师范学院数理学院） 35
解题宝典
当 x＜-1 时 （f x）＜0，即 （f xx）＞0 不符
函数 g（x）在（0，+∞）内是递减函数，故画 函数 g（x）的大致图像如右图：
合题意，当-1＜x＜0 时 （f x）＞0，即 （f xx）＜0 符合题意；当 0＜x＜1 时 （f x）＜0，即 （f x）＜
P（6，2姨 3 ），试求圆 C 的方程。
解析
由于
P（6，2姨 3
）在双曲线 x2 9
- y2 4
=1
上.
直接利用高中所学知识可得 过点 P（6，2 姨 3 ）与双曲线
x2 9
- y2 4
=1 相切的直线方程是:12x2-9姨 3
y-18=0.
λ1=2.或
λ2=-
姨3 4
，
将 λ1=2 代入(8)便得所求圆的方程是:
（y-2 姨 3 )2=0， 设所求圆 C 的方程为：
∵ 圆心 C（姨 3
-
姨3 2
λ，姨22
-
姨2 2
λ）在圆 A：
（x-6）2+（y-4)2+λ（12x-9姨 3 y-18）=0(λ 为常数)， 即 x2+y2-12（1-λ）x-（8+9姨 3 λ）y+52-18λ=0 …… (8)
x2+y2+=11 上，
A（. -∞，-1）∪（1，+∞） B（. -1，0）
0，又因为坌x1，x2∈（-∞，0） 都有 （x1-x2）