向量代数与空间解析几何练习题第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )（A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )（A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为( )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )（A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； （D ）||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q =，则BC =_______________，CD =__________________．2．已知ABC∆三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k+2+=, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(,B所做的功为F5ji3____________________________．⋅_____________________;5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2(C, 则=⨯____________________;ABC=∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=c, 并且0|=b, 5|a, 4|=|a⨯b++⨯．b⨯+c+cb=ca．计算a 2．已知3⨯b||a⋅．|=|ba, 求|||=⋅ba, 4|3．设力k-=作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2,7,1(,-+B的力矩的大小．ijF532+4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a , b , c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ，(1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2)求三棱锥BCD A -的体积． (3)求BCD ∆的面积． (4)求点A 到平面BCD 的距离．习题4.2一、选择题1．下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是（ ）（A ） 1532=++z y x ； （B ） 0532=++z y x ； （C ） 30532=++z y x ； （D ） 1532=++z y x ． 2．下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是（ ）（A ）)4,5,0(-C ； （B ）)5,4,3(-C ； （C ）)4,5,0(C ； （D ）)5,4,3(--C ．3．下列叙述中错误的是（ ）（A ）若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程；（B ）若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程；（C ） 若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程；（D ） 若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程．4．下列两平面垂直的是( )（A ）632=-+z y x 与1642=-+z y x ； （B ） 632=-+z y x 与12642=-+z y x ；（C ）632=-+z y x 与1321=+-+-z y x ； （D ） 632=-+z y x 与12=++-z y x ． 5．原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )（A ） 52； （B ） 7143； （C ） 6； （D ） 1．二、填空题1．垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________．2．经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________．3．平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点（A ）、（B ）、（C ），则Δ（A ）（B ）（C ）的面积为_________________．4．一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离，则该点的轨迹方程为________________．5．通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．2．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+zyx β距离相等的点的轨迹方程．3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程．4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．α的距离为7, 求点A的坐标．7．已知点A在z轴上且到平面0-zyx-+14724:=α的距离相等, 求点A的8．已知点．A在z轴上且到点)1,2yx,0(--z+3B与到平面926:=坐标．习题4.3一、选择题1．下列直线中与直线⎩⎨⎧-=+-=+-1320532z y x z y x 平行的是( ) （A ） 13151-=-=-z y x ； （B ） ⎩⎨⎧=--+=-++0272082z y x z y x ； （C ） 31321z y x =--=-； （D ） ⎩⎨⎧=-+=-+01205z x y x ． 2．下列平面中与直线21232-=-+=-z y x 垂直的是( ) （A ） 01245=-+-z y x ； （B ） 062=---z y x ；（C ） 01123=+--z y x ； （D ） 01723=-++z y x ．3．直线:1l 21232-=-+=-z y x 与直线3213162:2-+=--=-z y x l 的位置关系是( ) （A ） 重合； （B ） 平行； （C ） 相交； （D ） 异面．4．与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )（A ） ⎩⎨⎧=+-+=-+-03320105z y x z y x ； （B ） ⎩⎨⎧=+-+-=-+-020********z y x z y x ； （C ）115211+=-+=-z y x ； （D ） 511251-+=+=--z y x ． 5．与直线111211:+=+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) （A ） 121512+=+=+z y x ； （B ） 121512-=-=-z y x ； （C ） 327512+=+=+z y x ； （D ） 327512-=-=-z y x ． 二、填空题1．直线01243:z y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________． 2．经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________．3．已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ，（C ）(0，8，6)，则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________．4．经过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-01720103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________． 5．经过原点)0,0,0(O 且与直线12111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程．2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341z y x =--=-相交的直线的方程．3．求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程．4．求点)0,1,1(-P 到直线01112+=-=-z y x 的距离．5．λ取何值时直线⎩⎨⎧=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?6．平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l ：⎩⎨⎧=++=+0102z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直,求l 的方程．7．求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程．8．一平面经过直线（即直线在平面上）l ：41235zy x =-=+，且垂直于平面015=+-+z y x ，求该平面的方程．习题4.4一、选择题1．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（ ）（A ） 椭球面: 1222222=++c z b x a y ； （B ） 单叶双曲面: 1222222=-+c z b x a y ；（C ） 双叶双曲面: 1222222=--cz b x a y ； （D ） 椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+．2．母线平行于z 轴，准线为曲线⎩⎨⎧==++32534222z z y x 的柱面的方程是( )（A ）163422=+y x ； （B ）2534222=++z y x ；（C ）434=+y x ； （D ）22234z y x =+．3．将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( ) （A ） 36232222=+-z y x ； （B ）36332222=+-z y x ； （C ） 36332222=--z y x ； （D ）36332222=++z y x ．4．曲线1543222222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( )（A ） 一个椭圆．； （B ） 一条双曲线； （C ） 两条相交直线 ； （D ） 一条抛物线． 5．下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( ) （A ）椭球面； （B ）单叶双曲面； （C ）柱面； （D ） 锥面． 二、填空题1．经过原点与(4，0，0)，(1，3，0)，(0，0，-4)的球面的方程为__________________________．2．坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________．3．母线平行于z 轴, 准线为⎩⎨⎧==+25422z zy x 的柱面的方程是_____________________．4．顶点在原点且经过圆⎩⎨⎧==+1422z y x 的圆锥面的方程是________________________．5．经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________． 三、计算题与证明题1．一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy 面和xOz 面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与(1，1/3，-1), 求该椭圆抛物面的方程．3．求顶点为)0,0,0(o ，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．4．已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程．5．求以轴为母线z , 直线⎩⎨⎧==11y x 为中心轴的圆柱面的方程．6．求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程7．根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形．8．已知椭球面1222=++Z z Y y X x 经过椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,116922z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值．复习题四一、选择题1．将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( ) （A ）平行于同一平面的单位向量；（B ）平行于同一直线的单位向量； （C ）平行于同一平面的向量； （D ）空间中的所有单位向量． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( ) （A ）0||||=⋅b a ； （B ）a 与b 的内积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．行列式963852741的值为 ( )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 3 ； （D ） 3-．4．下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是 （ ） （A ）)2,1,1(-C ； （B ）)2,1,1(--C ； （C ） )2,5,1(C ； （D ）)2,5,1(--C 5．下列两平面垂直的是 ( ) （A ） 063=---z y x 与012622=+--z y x ； （B ） 063=---z y x 与018=++-z y x ； （C ） 063=---z y x 与012=++-z y x ；（D ） 063=---z y x 与1266=--zy x ．6．原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )（A ）2； （B ）4； （C ）22 ； （D ） 22．7．下列平面中与直线231231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) （A ）01245=-+-z y x ； （B ）062=---z y x ；（C ） 1362=--zy x ； （D ）01723=-++z y x ．8．直线⎩⎨⎧=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=-=zy x l 的位置关系是 ( ) （A ）重合； （B ）平行； （C ）相交； （D ）异面． 9．下列曲面中不是关于原点中心对称的是 （ ）（A ）长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++；（B ）单叶旋转双曲面: 1222222=-+b z a x a y ；（C ）双叶旋转双曲面: 1222222=--b z b x a y ； （D ）椭圆抛物面: z y x =+22．10．曲线1352222222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( )（A ）一个椭圆； （B ）一条双曲线； （C ）两条相交直线； （D ）一条抛物线． 二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，且p =，q BO =，则AB =_______________，=__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上高的长为______________________．3．设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________．4．平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ，则三棱锥ABC O -的体积为_________________5 ．通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________． 6．经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程．为_________________7．经过直线⎩⎨⎧=++=-+-0140632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________．8．经过原点)0,0,0(o 且与直线12111-+==--z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．9．球面010*******=---+++z y x z y x 的半径是__________________________．10．母线平行于y 轴, 准线为⎩⎨⎧==+222y zy x 的柱面的方程是______________________．三、计算题与证明题1．已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅．2．设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小．3．已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程．4．已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程．5．已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值．6．λ取何值时直线⎩⎨⎧=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?7．设圆柱面α过直线⎩⎨⎧==60:1y x l , 2100082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程．8．已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程．。