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r r r r 例4 以向量 a 与 b 为边做平行四边形，试用 a 与 b 表 r r 示 a 边上的高向量。 b r 解：如右图 h r r r h = b −a1 r r r r r0 a1 a = b − (| b | cosθ )a r r r r r r a⋅b a r a⋅b r = b − r ⋅ r = b − r 2 ⋅a |a | |a| |a | r r r a⋅b r 则高向量为 ± (b − r 2 ⋅ a ) |a |
x2 − x1 x3 − x1
y2 − y1 y3 − y1
点 : ( x0 , y 0 , z 0 ) 法向量 : n = ( A , B , C ) z − z1 z2 − z1 = 0 z3 − z1
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空间直线 一般式 对称式 参数式
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p ⎧ x = x0 + m t ⎪ ⎨ y = y0 + n t ⎪ z = z + pt ⎩ 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点; s = { m , n , p } 为直线的方向向量.
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2.线面之间的相互关系 面与面的关系 平面 Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, n1 = { A1 , B1 , C1 } 平面 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, n2 = { A2 , B2 , C 2 } 垂直: n1 ⋅ n2 = 0 平行: n1 × n2 = 0
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例2
r r 解 | b |= 9 , | c |= 3 r0 7 4 4 2 1 2 r0 b = { ,− ,− } , c = { − ,− , } 9 9 9 3 3 3 r0 r0 1 7 2 r 则 b + c = { ,− , } // a 9 9 9 r0 r0 0 2 7 1 r0 所以 (b + c ) = { } =a , ,− 3 6 3 6 3 6 r r r0 2 7 1 故 a =| a | a = ±5 6{ } , ,− 3 6 3 6 3 6
利用点向式可得方程
y−2 z−5 x+3 = = 3 4 1
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例8 求平面 π : x + y + z + 1 = 0 上的直线 l ，它通过直线 ⎧ x + 2z = 0 l1 : ⎨ 与平面π 的交点，且与 l1 垂直，求 l ⎩y+ z +1= 0 的方程。 解1
联立 l1 和 π ， 得交点 (0,−1,0) r l1 的方向向量为： v1 = {1,0,2} × {0,1,1} = { −2,−1,1} r π 的法向量为： n = {1,1,1} r r 又由条件知 l ⊥ v1 , l ⊥ n r r r 取 l 的方向向量为 v = v1 × n = { −2,3,−1}
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r r 平分线，且| a |= 5 6 ，求 a 。
r r r a 平行于 b = {7,−4,−4} c = { −2,−1,2} 的夹角 设向量
例3
r 解1 设 d = { x , y , z } , 由条件
r r r r 向量 d 垂直于 a = { 2,3,−1}， b = {1,−2,3}，且 d 与 r r c = { 2,−1,1}的内积为 − 6 ，求 d 。
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⎧2 x − z = 0 例6. 设一平面平行于已知直线 ⎨ ⎩x + y − z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7 x − y + 4 z − 3 = 0 , 求该平面
法线的的方向余弦.
n1 = {7 , − 1 , 4} 解: 已知平面的法向量 已知直线的方向向量 s = {1 , 1 , 2 } 取所求平面的法向量 i j k n = s × n1 = 1 1 2 = 2{ 3 , 5 , − 4} 7 −1 4 3 −4 5 , cos β = , cos γ = 所求为 cos α = 51 50 50
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
n1 ⋅ n2 夹角公式: cosθ = n1 n2
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线与线的关系 直线 L1： x − x1 = y − y1 = z − z1 , s1 = {m1 , n1 , p1 } m1 n1 p1 x − x 2 y − y2 z − z 2 直线 L2： = = , s2 = { m2 , n2 , p2 } m2 n2 p2 垂直: s1 ⋅ s2 = 0 平行: s1 × s2 = 0 夹角公式: cosθ = s1 ⋅ s2 s1 s2
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
的平面束方程
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
第七章 空间解析几何 和向量代数 习题课
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一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
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（一）向量代数
向量的 向量的 线性运算 线性运算
向量概念 向量概念
向量的 向量的 表示法 表示法
向量的积
数量积 数量积 混合积 混合积 向量积 向量积
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若 L1 与 L2 异面 ，则它们之间的距离为 r r | P1 P2 ⋅ (v1 × v2 ) | d= r r | v1 × v2 |
(5) 空间曲线在坐标面上的投影
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作业
习题6-8(P54) 1，2，3，5，7，8， 9，10，11，13，14， 19，22
二、典型例题
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例9. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
垂直相交的直线方程. 解： 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线 的平面的法向量为 ( 3 , 2 , − 1) , 故其方程为
3( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 3) = 0
x +1 y −1 z = = 3 2 −1
（二）空间解析几何 空间直角坐标系 空间直角坐标系
投影柱面 投影柱面 投影曲线 投影曲线 一般方程 一般方程 参数方程 参数方程
曲线 曲线
直 线 直 线
曲面 曲面
平 面 平 面
旋转曲面 旋转曲面 柱 面 柱 面 二次曲面 二次曲面 一般方程 一般方程
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对称式方程 点法式方程 对称式方程 点法式方程
r r r r r r r r r b 例1 已知 a = i ， = j − 2k , c = 2i − 2 j + k , r0 r0 r r0 r r 求一单位向量 n ， n ⊥ c ， n , a , b 共面． 使 且 r r r r0 解 设 n = xi + yj + zk , 由题设条件得 r0 ⎧ x2 + y2 + z2 = 1 n =1 ⎪ r0 r ⎨2 x − 2 y + z = 0 n ⊥c ⎪2 y + z = 0 r0 r r ⎩ n ⊥a × b 2r 1 r 2 r r0 解得 n = ± ( i + j − k ). 3 3 3
①
化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点 2 13 3 P( , , − ) 7 7 7 (2,1,3) 最后利用两点式得所求直线方程
x − x1 y − y1 z − z1 L: = = m n p
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
L
的距离 为
M 0 M1 × s d= s 1 = m 2 + n2 + p2
d
s = { m , n , p} ϕ M 1 ( x1 , y1 , z1 ) i j k x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
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(2) 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
M1 M 0 ⋅ n d= n
=
A x0 + B y 0 + C z 0 + D
A +B +C
2 2 2
M0
d
r n
Π
M1
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(3) 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到直线