ρ
，即
D2
=
ρ R03 3r 2
，
E2
=
D1 ε0
=
ρ R03 3ε 0 r 2
故介质球中心点的电位为
∫ ∫ ∫ ∫ ϕ(0) =
R0 0
E1dr
+
∞
R0 E2dr
=
R0 0
ρr 3ε rε 0
dr +
∞ R0
ρ R03 3ε0r 2
dr
= ρ R02 6ε rε 0
+
ρ R02 3ε 0
=
2εr + 2ε r
3.1 数ϕ
长度为 L 的线电荷，电荷密度为常数 ρl ；(2) 利用直接积分法计算平分面上的
0EG。，(1并) 用计E算G =线−电∇ϕ荷由平(分1)验面证上(的2)电所位得函结
果。
图题 3.1 解：(1) 建立如图题 3.1 所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上 任意点 P 的电位为
两板间加电压U0 ，试证明液面升高
h
=
1 2ρ g
(ε
−
ε
0
)
⎛ ⎜⎝
U0 d
⎞2 ⎟⎠
式中的 ρ 为液体的质量密度， g 为重力加速度。
U0
L h
ε
d
图题 3.10
解：设金属板的宽度为 a 、高度为 L 。当金属板间的液面升高为 h 时，其电容为
C = ε ah + ε0a(L − h)
d
d
金属板间的静电能量为
(1)
∂2 ∂x2
(e− y
cosh
x)
+
∂2 ∂y2
(e− y
cosh
x)
+
∂2 ∂z2
(e− y
cosh
x)
=
2e− y
cosh
x
≠
0
所以函数 e− y cosh x 不是 y > 0 空间中的电位解；
(2)
∂2 ∂x2
(e− y
cos
x)
+
∂2 ∂y2
(e− y
cos
x)
+
∂2 ∂z2
(e− y
(a < ρ < c) (a < ρ < b) (b < ρ < c)
由于
∫ ∫ U0 =
b a
G E1
⋅
dρG
+
c b
G E2
⋅ dρG
=
I 2πσ1
ln
⎛ ⎜⎝
b a
⎞ ⎟⎠
+
I 2πσ 2
ln
⎛ ⎜⎝
c b
⎞ ⎟⎠
于是得到
I=
2πσ1σ 2U0
σ 2 ln(b / a) + σ1 ln(c / b)
cosφ
,
⎠
ρ≥a
(1) 求圆柱内、外的电场强度；(2) 这个圆柱是什么材料制成的？其表面上有电
荷分布吗？试G 求之。
解：(1) ρ
由 E = −∇Gϕ ，可得 ≤ a 时， E = −∇ϕ =
0
ρ
≥
G a 时， E
=
−∇ϕ
=
G −eρ
∂ ∂ρ
⎡ ⎢
A(ρ
⎣
−
a2 ρ
)
cos
φ
⎤ ⎥ ⎦
−
G eφ
∂ ρ∂φ
cos
x)
=
−e− y
cos
x
+
e− y
cos
x
=
0
所以函数 e− y cos x 是 y > 0 空间中可能的电位解；
(3)
∂ (e− 2 sin x cos x) + ∂ (e− 2 sin x cos x) + ∂ (e− 2 sin x cos x)
∂x2
∂y2
∂z 2
= −4e− 2 sin x cos x + 2e− 2 sin x cos x ≠ 0 所以函数 e− 2 sin x cos x 不是 y > 0 空间中的电位解；
q
−
2q
⎤ ⎥
4πε0 ⎢⎣ (x + a)2 + y2 + z2 (x − a)2 + y2 + z2 ⎥⎦
令ϕ(x, y, z) = 0 ，则有
1
−
2
=0
(x + a)2 + y2 + z2 (x − a)2 + y2 + z2
即
4[(x + a)2 + y2 + z2 ] = (x − a)2 + y2 + z2
G eρ
ρl 0 4πε 0 ρ
z' ρ 2 + (L / 2)2
3.2 点电荷 q1 = q 位于 P1(−a, 0, 0) ，另一点电荷 q2 = −2q 位于 P2 (a, 0, 0) ，求空间的 零电位面。 解：两个点电荷 +q 和 −2q 在空间产生的电位
ϕ(x, y, z) =
1
⎡ ⎢
+
(L /
2)2
+
L
/
2
⎤ ⎥
2πε0 ⎢⎣
ρ
⎥⎦
=
G −eρ
ρl0 2πε 0
d dρ
[ln(
ρ 2 + (L / 2)2 + L / 2) − ln ρ]
=
G −eρ
ρl0 2πε 0
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩[L / 2 +
ρ ρ 2 + (L / 2)2 ]
ρ2
+ (L / 2)2
−
1 ⎫⎪
ρ
⎬ ⎪⎭
=
We
=
1 2
CU
2
0
=
aU
2
0
2d
[hε
+
(L
−
h)ε0 ]
液体受到竖直向上的静电力为
Fe
=
∂We ∂h
=
aU
2
0
2d
(ε
−ε0)
而液体所受重力 Fg = mg = ahd ρ g
Fe 与 Fg 相平衡，即
aU
2 0
2d
(ε
−ε0)
=
ahdg ρ
故得到液面上升的高度
h
=
(ε
−
ε0
)U
2 0
2d 2ρ g
−ε0)
∂ϕ2 ∂r
r=a
=
3ε0 (ε − ε0 ) ε + 2ε0
E0
cosθ
3.7 两块无限大导体平板分别置于 x = 0 和 x = d 处，板间充满电荷，其体电荷密
度为
ρ
=
ρ0 x d
，极板的电位分别设为
0
和U0
，如图题
3.7
所示，求两导体板之间
的电位和电场强度。
ϕ = 0 ρ(x) ϕ = U0
所以
E
=
q 2πr2 (ε1
+
ε2)
∫ ∫ 导体球的电位
ϕ(a) =
∞
Edr =
q
∞ 1 dr =
q
a
2π(ε1 + ε2 ) a r 2
2π(ε1 + ε2 )a
故导体球的电容
C
=
q ϕ(a)
=
2π(ε1
+
ε2
)a
(2) 总的静电能量为
We
=
1 2
qϕ (a)
=
q2 4π(ε1 +
ε 2 )a
3.10 两平行的金属板，板间距离为 d ，竖直地插入介电常数为 ε 的液态介质中，
自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为 G
2εr +1 2ε r
ρ 3ε 0
R02
。
解：由高斯定理 v∫S D ⋅ dS = q ，得
r
< R0 时， 4πr 2D1
=
4πr 3 3
ρ
，即 D1
=
ρr 3
， E1
=
D1 ε rε 0
=
ρr 3ε rε 0
r
>
R0 时， 4πr 2D2
=
4πR03 3
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
G J
=
G eρ
ρ[σ 2
同轴线单位长度的静电储能为
∫ ∫ We
=
1 2
ε E2dV = 1
V
2
bε
a
⎛ ⎜⎝
ql 2περ
⎞2 ⎟⎠
2πρdρ
=
1 2
q2 l
2πε
ln
⎛ ⎜⎝
b a
⎞ ⎟⎠
=
1 2
q2 l
C
3.9 有一半径为 a 、带电量 q 的导体球，其球心位于介电常数分别为 ε1 和 ε2 的两
种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：(1)导体球的电容；(2) 总的 静电能量。
ql2 2C
。式中
ql
为单位长度上的电荷
量， C 为单位长度上的电容。 证：由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为
E(ρ) = ql 2περ
内外导体间的电压为
∫ ∫ U =
b Edρ =
a
b a
ql dρ 2περ
=
ql 2πε
ln
⎛ ⎜⎝