2018年安徽中考数学专题复习几何探究题类型一 与全等三角形有关的探究★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”．(1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ；(2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ；(3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第1题图(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)；(2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM ； (3)解：是．证明：如题图④，由(2)易知∠ACB ＝∠PNC ＝∠ABC ＝∠PBM ＝∠PMB ， ∴∠MPB ＝∠NPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝ ∠BPN ， PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM .★2. 已知∠ABC ＝90°，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与点B 不重合)，分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ，连接QE 并延长交BP 于点F .(1)如图①，若AB ＝23，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长；(2)如图②，当点A 、E 、P 不在一条直线上时，猜想EF 与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段)，并加以证明；(3)若AB ＝23，设BP ＝x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，说明等边三角形的面积y 随x 的变化情况．第2题图解：(1)∵△ABE 是等边三角形， ∴AE ＝AB ，∠BAE ＝∠ABE ＝60°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠EBP ＝∠EPB ＝30°，∴BE ＝EP ＝AE ＝23， ∴点E 为AP 的中点， ∴∠FEP ＝90°，∴在Rt △FEP 中，EF ＝EP ·tan30°＝2， ∴EF ＝2； (2)EF ＝BF ，理由如下：∵∠BAP ＝∠BAE －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∠EAQ ＝∠QAP －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∴∠BAP ＝∠EAQ ， 在△ABP 和△AEQ 中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ (SAS)． ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°. ∴∠BEF ＝180°－∠AEQ －∠AEB ＝180°－90°－60°＝30°.又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴∠BEF ＝∠EBF ， ∴EF ＝BF ；(3)如解图，过点F 作FD ⊥BE 于点D . ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝2 3. 由(2)得∠EBF ＝30°， 在Rt △BDF 中，BD ＝ 3.∴BF ＝BDcos30°＝2.∴EF ＝BF ＝2.∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x .∴QF ＝QE ＋EF ＝x ＋2.∴以QF 为边的等边三角形的面积 y ＝12(x ＋2)·32(x ＋2) ＝34(x ＋2)2 ＝34x 2＋3x ＋ 3. ∵BP ＝x ，x >0，∴y 随x 的增大而增大．第2题解图★3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； (2)如图②，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，BE ，若∠ABE ＝60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图③，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F .若AC ＋AB ＝3AE ，求∠BAC 的度数．第3题图解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，如解图①所示， ∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL)， ∴AC ＝AE ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，即△BDE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DE ＝EB ，则AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD ；第3题解图①(2)AB ＝AC ＋CE ；证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ， 在△ACE 和△AHE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AH ∠CAE ＝∠BAE AE ＝AE， ∴△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ，∴CE ＝BE ，∴BE ＝HE ， 又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE ；第3题解图②(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示， 同理可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32，∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.第3题解图③★4. 在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，延长AB 至点D ，使BD ＝BC ，E 是直线BC 上一点，F 是直线AC 上一点，连接DE 、EF ，且∠DEF ＝∠DBC .(1)如图①，若∠D ＝∠EFC ＝15°，AB ＝3，求AC 的长； (2)如图②，当∠BAC ＝45°，点E 在线段BC 的延长线上，点F 在线段AC 的延长线上时，求证：EF ＝DE ；(3)如图③，当∠BAC ＝90°，点E 在线段CB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上时，求CFBE的值．第4题图(1)解：在△BDE 中，∠D ＋∠DBE ＋∠BED ＝180°， ∵∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°，∠DEF ＝∠DBC ，∠D ＝∠F ＝15°， ∴∠D ＝∠FEC ＝∠F ＝15°， ∴∠ACB ＝∠F ＋∠CEF ＝30°， ∴∠ABC ＝2∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝90°， 在Rt △ABC 中，AB ＝3，∠ACB ＝30°， ∴BC ＝2AB ＝23，∴AC ＝BC 2－AB 2＝（23）2－（3）2＝3；(2)证明：如解图①，连接CD ，作EM ⊥EB 交AF 于点M ，记AF 交DE 于点O . ∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ＝∠EMC ＝45°， ∴EM ＝EC ， ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠EMF ＝135°， ∵∠DEF ＝∠DBC ＝90°，∠FCD ＝∠DCA ＝90°， ∴∠OEF ＝∠OCD ， ∵∠EOF ＝∠COD ，∴∠OFE ＝∠ODC ，即∠EFM ＝∠EDC ， 在△EMF 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠EDC ∠EMF ＝∠DCE ，EM ＝EC∴△EMF ≌△ECD (AAS)， ∴EF ＝DE ；第4题解图①(3)解：如解图②中，连接CD 、DF ，作NE ⊥CE 交AD 的延长线于点N ，在线段CE 上取一点M ，使得FM ＝FE .∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°， ∵DB ＝BC ， ∴∠DBC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD ＝30°， ∴∠DBC ＝∠DEF ＝120°，∠DCA ＝∠DCB ＋∠ACB ＝60°，∴∠DEF ＋∠DCF ＝180°， ∴E 、F 、C 、D 四点共圆， ∵∠DCE ＝∠ECF ， ∴DE ︵＝EF ︵，∴DE ＝EF ＝FM ， ∵∠NEB ＝90°，∠NBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠N ＝∠ACM ＝30°，∵∠DBC ＝∠BDE ＋∠DEB ＝120°，∠DEF ＝∠DEB ＋∠FEM ＝∠DEB ＋∠FME ＝120°， ∴∠BDE ＝∠FME ， ∴∠NDE ＝∠FMC ， 在△EDN 和△FMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠FCM ∠NDE ＝∠FMC DE ＝FM， ∴△EDN ≌△FMC (AAS)， ∴NE ＝CF ，在Rt △NEB 中， ∵∠NEB ＝90°，∠N ＝30°， ∴NE ＝3BE ， ∴CF ＝3BE . ∴CFBE＝ 3.第4题解图②★5. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在直线CD 上(不与点C 、D 重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .(1)如图①，若点P 在线段CD 上，求证：AH ＝PH ；(2)如图②，若点P 在线段CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；(3)若点P 在线段DC 的延长线上，且∠AHQ ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，求线段DP 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)，∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图①(2)解：(1)中的结论仍然成立； 证明：如解图②，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDC ＝∠HQD ＝45°， ∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ， 在△HDP 和△HQC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC ，PD ＝CQ∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图②(3)解：如解图③，由(1)知，AH＝PH，∵∠AHD＝∠CHD，第5题解图③∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°.∴∠HP A＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠AHD＝∠CHD＝30°，∴∠QHP＝∠CHD＝∠CHP＝30°，∵∠HCP＝∠HDC＋∠CHD＝45°＋30°＝75°，∴∠CPH＝180°－∠HCP－∠CHP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠APD＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝2 3.类型二与相似三角形有关的探究★1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.(1)图中相似三角形共有________对；(2)证明：AM2＝MN·MP；(3)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1.求BN的长．第1题图(1)解：6.【解法提示】有△AMB ∽△PMD ，△ADM ∽△NBM ，△ABN ∽△PCN ∽△PDA ，△ABD ∽△CDB ，∴共6对相似三角形．(2)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADM ＝∠NBM ，∠DAM ＝∠BNM ， ∴△ADM ∽△NBM ， ∴AM MN ＝DM BM； ∵AB ∥DC ，∴∠P ＝∠BAM ，∠MDP ＝∠ABM ， ∴△PDM ∽△ABM ， ∴PM AM ＝DM BM ， ∴AM MN ＝PM AM， ∴AM 2＝MN ·MP ； (3)解：∵AD ∥BC ，∴∠PCN ＝∠PDA ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PCN ∽△PDA ， ∴PC PD ＝NC AD ， ∵DC ∶CP ＝2∶1， ∴PC PD ＝NC AD ＝13. 又∵AD ＝6， ∴NC ＝2，∴BN ＝BC －CN ＝6－2＝4.★2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，过AC 上一点D 作DE ∥AB ，交BF 的延长线于点E ，AG ⊥BE ，垂足为点G ，连接BD 、AE .(1)求证：△ABC ∽△BGA;(2)若AF ＝5，AB ＝8，求FG 的长；(3)当AB ＝BC ，∠DBC ＝30°时，求DEBD的值．第2题图(1)证明：∵∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，∴BF ＝12AC ＝AF ,∴∠F AB ＝∠FBA,∵AG ⊥BE, ∴∠AGB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠AGB ， ∴△ABC ∽△BGA ； (2)解：∵AF ＝5,∴AC ＝2AF ＝10，BF ＝5， ∵△ABC ∽△BGA ， ∴AB AC ＝BG AB， ∴BG ＝AB 2AC ＝8210＝325，∴FG ＝BG －BF ＝325－5＝75；(3)解：如解图，延长ED 交BC 于点H ，则DH ⊥BC, ∴∠DHC ＝90°，∵AB ＝BC ，F 为AC 的中点， ∴∠C ＝45°，∠CBF ＝45°，∴△DHC 、△BEH 是等腰直角三角形， ∴DH ＝HC ，EH ＝BH ， 设DH ＝HC ＝a ， ∵∠DBC ＝30°， ∴BD ＝2a ，BH ＝3a ， ∴EH ＝3a ， ∴DE ＝(3－1)a, ∴DE BD ＝3－12.第2题解图★3. 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”.(1)如图①，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直角顶点C 在直线DE 上，分别过点A ，B 作AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E . 求证：△ADC ∽△CEB .(3)如图③，AD ∥BC ，DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD 交DP 于点P ，过点P 作AB ⊥AD 于点A ，交BC 于点B . 求证：点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．第3题图(1)解：点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点. 理由如下： ∵∠DEC ＝40°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝140°， ∵∠A ＝∠B ＝40°，∴∠ADE ＋∠AED ＝140°， ∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点； (2)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥DE ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAD ， ∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ； (3)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∵DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD ，∴∠CDP ＋∠DCP ＝12(∠ADC ＋∠BCD )＝90°，∵DA ⊥AB ，∴CB ⊥AB ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°，∵∠ADP ＝∠CDP ，∴△ADP ∽△PDC ，同理△BPC ∽△PDC ，∴△ADP ∽△PDC ∽△BPC ，即点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点． ★4. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，点D 、E 分别在AB 、AC 上． (1)如图①，若AD ＝c ，△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长；(2)如图②，若DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转α，得到△AMN ，连接BM 、CN ，求证：△ABM ∽△ACN ；(3)在(2)的图形中，若△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝2，DE 是△ABC 的中位线，如图③，请直接写出BMCN的值．第4题图(1)解：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴分两种情况： ①若∠ADE ＝∠ABC ，则△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC， ∴ AE ＝AC ·AD AB ＝bca；②若∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AE AB， ∴AE ＝AB ·AD AC ＝acb；(2)证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AEAC ，∵△AMN 是由△ADE 旋转得到的， ∴AM ＝AD ，AN ＝AE ， ∴AM AB ＝AN AC， ∵∠BAM ＝∠CAN ＝α， ∴△ABM ∽△ACN ； (3)解：BM CN ＝233.【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝1，AC ＝3， 由(2)知△ABM ∽△ACN ， ∴BM CN ＝AB AC ＝23＝233. ★5. 如图①，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD .(1)求证：AC ＝AD ；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E . ①如图②，若α＝β，AH ⊥BC 于点H ，求证：△DEG ∽△AHB ；②如图③，若β＝2α，DG ＝kAD ，求S △DEGS △BCD的值．(用含k 的代数式表示)第5题图(1)证明：如解图①，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴AB ＝AD . ∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD .第5题解图①(2)①证明：由题意可得：∠AHB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝α.∴∠BAC ＝180°－2α. 由(1)得AB ＝AC ＝AD .∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝90°－α，∴∠GDE ＝∠BDC ＝90°－α， ∵∠G ＝β＝α＝∠ABH ， ∴∠G ＋∠GDE ＝90°. ∴∠DEG ＝∠AHB ＝90°， ∴△DEG ∽△AHB ；②解：如解图②，过A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠DGE 的平分线GF ，交DE 于F ， 由①知∠GDE ＝90°－α， ∵∠DGE ＝β＝2α， ∴∠DGF ＝α，∴∠ABC ＝∠DGF ＝α，∠DFG ＝180°－∠GDF －∠DGF ＝90°， ∴△DFG ∽△AHB .又∵GF 为∠DGE 的平分线， ∴GF 为DE 的中垂线， ∵AB ＝AD ，GD ＝kAD ， ∴S △DFG S △AHB ＝GD 2AB2＝GD 2AD 2＝k 2，又∵S △ABC ＝S △BCD ，S △ABC ＝2S △AHB ，S △DEG ＝2S △DFG ， ∴S △DEG S △BCD＝k 2.第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的探究★1. 如图，设E 、F 分别为正方形ABCD 边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，过E 、F 分别作AC 的垂线，垂足分别为P 、Q .(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)； (2)求证：AB 2＝AP ·AQ ；(3) 设正方形的边长为4，当P 、Q 重合时，求BE 的长．第1题图(1)解：图中相似三角形有：△ABC ∽△CQF ，△EPC ∽△ADC ，△CPE ∽△CQF ，△CQF ∽△ADC ，△ABE ∽△AQF ，△APE ∽△ADF 等(写出任意3对，即可得分)．(2)证明：∵∠BAE ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠QAF ＝45°， ∴∠BAE ＝∠QAF . 在△ABE 与△AQF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠QAF ∠B ＝∠AQF ＝90°， ∴△ABE ∽△AQF ， ∴AB AQ ＝AEAF. 同理，在△AEP 与△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAP ＝∠F AD ∠EP A ＝∠D ＝90°， ∴△AEP ∽△AFD . ∴AP AD ＝AEAF ， ∴AB AQ ＝AP AD， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝AP ·AQ .(3)解：如解图，当P 、Q 重合时， ∵∠EPC ＝∠FQC ＝90°， ∴E 、P 、F 在同一直线上． ∴∠ECP ＝∠FCQ ＝45°， ∴EP ＝FQ ，在△AEP 和△AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ∠APE ＝∠AQF EP ＝FQ， ∴△AEP ≌△AFP (SAS)， ∴∠EAP ＝12×45°＝22.5°，∴∠BAE ＝45°－∠EAP ＝22.5°， ∴△AEB ≌△AEP (AAS)， ∴EB ＝EP ，AB ＝AP ＝4， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ACB ＝45°，AC ＝42， 又∵EP ＝PC ，∴BE ＝PC ＝AC －AP ＝42－4.第1题解图★2. 已知：在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E .(1)如图①，当α＝60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系； (2)如图②，当α＝45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明．(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)第2题图解： (1)BD ＝AE ；【解法提示】如解图①，连接EC ，当α＝60°时，△ABC 、△DCE 均为等边三角形， ∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝EC ∠BCD ＝∠ACE BC ＝AC， ∴△BCD ≌△ACE (SAS)， ∴BD ＝AE ；第2题解图①(2)BD ＝2AE ；证明：如解图②，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F .第2题解图②∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α＝45°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°. ∴△DFB 是等腰直角三角形， ∴BD ＝DF ＝22BF . ∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°， ∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°， ∴∠BAE ＝∠DFC ，∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠CDE ＋∠ADE ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ， ∴△ADE ∽△FCD ，∴AE DF ＝AD CF . ∵DF ∥AC ， ∴BD BF ＝AD CF ， ∴AE DF ＝BD BF ＝22， ∴BD ＝DF ＝2AE ；(3)补全图形如解图③，BD ＝2cos α·AE .第2题解图③证明：连接EC ，设AC 与DE 交于点O ， ∴AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α， 又∵∠EDC ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α， ∵∠AOE ＝∠DOC ， ∴△AOE ∽△DOC ， ∴AO DO ＝OE OC， ∵∠AOD ＝∠EOC ， ∴△AOD ∽△EOC ， ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝180°－α－∠3(A 、D 、B 三点共线)， ∠4＝180°－α－∠3(三角形内角和为180°)， ∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠1＝∠4.又∵∠EAC ＝∠ABC ＝α， ∴△BDC ∽△AEC ， ∴BD AE ＝BC AC， 又∵BCAC＝2cos α，∴BD ＝2 cos α·AE .★3. 在△ABC 中，点D 在直线AB 上，在直线BC 上取一点E ，连接AE ，DE ，使得 AE ＝DE ，DE 交AC 于点G ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BC 于点F ，∠EAC ＝∠DEF .(1)如图①，当点E 在BC 的延长线上，求证：∠EGC ＝∠AEC ；(2)如图①，当点E 在BC 的延长线上，D 为AB 的中点，若DF ＝3，求BE 的长度； (3)当点E 在BC 上，点D 在AB 的延长线上时，如图②所示，若CE ＝10，5EG ＝2DE ，求AG 的长度．第3题图(1)证明：∵DF ∥AC ， ∴∠DFE ＝∠ACE .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴∠AEC ＝∠EDF . ∵DF ∥AC ，∴∠EGC ＝∠EDF ， ∴∠EGC ＝∠AEC ； (2)解：∵DF ∥AC ， ∴△BDF ∽△BAC ， ∴BF BC ＝DF AC ＝BD BA. ∵D 为AB 的中点， ∴BD BA ＝12，∴BF ＝12BC ，DF ＝12AC . ∴BF ＝CF ，AC ＝2DF ＝6， 由(1)可知△ACE ≌△EFD ， ∴AC ＝EF ＝6，CE ＝FD ＝3. ∴BF ＝FC ＝EF －CE ＝3， ∴BE ＝BF ＋FE ＝9； (3)解：∵DF ∥AC ， ∴∠ACE ＝∠EFD .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴CE ＝FD ＝10，AC ＝EF . ∵DF ∥AC ，∴△DEF ∽△GEC ，∴EF EC ＝DF GC ＝DE GE. ∵5EG ＝2DE ，CE ＝FD ＝10， ∴EF ＝25，GC ＝4，∴AG ＝AC －GC ＝EF －GC ＝25－4＝21. ★4. (1)如图①，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且∠CDE ＝90°，EF ⊥AB 于点F ，BE ＝2AD ，求证：DE ＝CD ；(2)如图②，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在BC 上，连接AD ，E 为AD 上一点，过点E 作BC 的平行线分别交AB ，AC 于点F ，G ，连接BE ，CE ，若∠BEC ＝135°，求证：△BFE ∽△EGC ；(3)在(2)的条件下，若BD ＝2DC ，求BECE的值.第4题图(1)证明：由题意可得，∠BFE ＝∠DFE ＝90°＝∠A ＝∠CDE ， ∵∠ADC ＋∠EDF ＝∠FED ＋∠EDF ＝180°－90°＝90°， ∴∠ADC ＝∠FED . ∵∠BFE ＝90°，∠B ＝30°， ∴BE ＝2FE . ∵BE ＝2AD ， ∴FE ＝AD ，在△FED 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FED ＝∠ADC FE ＝AD ∠DFE ＝∠CAD， ∴△FED ≌△ADC (ASA)， ∴DE ＝CD ；(2)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵FG ∥BC ，∴∠AFG ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠AGF ＝45°， ∴∠BFE ＝∠EGC ＝135°＝∠BEC ， ∴AF ＝AG ，BF ＝GC ，∵∠GEC ＋∠BEC ＝∠GEB ＝∠BFE ＋∠FBE ， ∴∠FBE ＝∠GEC ， ∴△BFE ∽△EGC ；(3)解：由(2)知，△BFE ∽△EGC ，∴BE CE ＝BF EG ＝FE GC， ∵FG ∥BC ，∴△AFE ∽△ABD ，△AEG ∽△ADC ， ∴FE BD ＝AE AD ，AE AD ＝EG DC ， ∴FE BD ＝EG DC， ∵BD ＝2DC ， ∴FE ＝2EG ，又∵BF EG ＝FEGC ，BF ＝GC ，∴BF EG ＝2EG BF ， ∴BFEG＝2， ∴BE CE ＝BFEG＝ 2. ★5. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接EM 并延长交线段CD 的延长线于点F .(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，求MGME的值.第5题图(1)证明∵ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°，∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FDB AM ＝DM ∠AME ＝∠DMF ，∴△AME ≌△DMF (ASA)；(2)证明：过点G 作GH ⊥AD 于H ，如解图①， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，∴四边形ABGH 是矩形． ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点，∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，在△AEM 和△HMG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝GH ∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG，∴△AEM ≌△HMG ，∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ，∴ME ＝MF ，∵MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°，∴△GEF 是等腰直角三角形．第5题解图①(3)解：过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，如解图②， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°， ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中， ∴tan ∠MEG ＝MGEM＝ 3.第5题解图②★6. 已知D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E 、DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)如图①，当∠BAC ＝90°时； ①求证：四边形AEDF 是正方形；②试问AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；(2)如图②，当AF ∶DF ＝2∶1时，求AN ∶FM 的值．第6题图(1)①证明：∵∠BAC ＝90°，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ∴四边形AEDF 是矩形，∵BD ＝DC ，∠DEB ＝∠DFC ＝90°，BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴DE ＝DF ，∴矩形AEDF 是正方形；②解：AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两条对角线的数量关系相同； 理由：在正方形AEDF 中，AF ＝AE ， 又∵AN ⊥FM 于G ，∠AMF ＝∠ANE ， ∠AEN ＝∠MAF ＝90°，∴Rt △AEN ≌△Rt △F AM (AAS)， ∴AN ＝FM ，又∵正方形AEDF 的对角线相等，∴AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同； (2)解：如解图，连接AD 、EF ，且AD 与EF 相交于点O ， 设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ， ∵Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ， ∴AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，DF ⊥AC 于点F ，12×5k ·OF ＝2k ·k ·12，∴OF ＝255k ， ∴EF ＝455k ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∠AEO ＋∠EAO ＝∠ADE ＋∠EAD ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，∠AEO ＝∠NDA ， ∴△FME ∽△AND ， ∴AN FM ＝AD EF ＝54.第6题解图★7. 已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F .第7题图(1)如图①，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求AF 的长；(2)如图②，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，求证：AG ＝2CG . (1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△BCF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠ABE BC ＝AB ∠CBF ＝∠BAE ，∴△BCF ≌△ABE (ASA)，∴CF ＝BE ＝1，∴DF ＝CD －CF ＝3， ∴AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋32＝5； (2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°， ∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)证明：连接EF ，如解图所示： ∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆， ∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE ＝CF ，同(1)得：△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝12 BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(1)得：A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠BOG ＝∠BAE ， ∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°， ∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE＝ 2， ∴AG ＝ 2 CG .第7题解图★8. 已知点E 在△ABC 内，∠ABC ＝∠EBD ＝α，∠ACB ＝∠EDB ＝60°，∠AEB ＝150°，∠BEC ＝90°.(1)如图①，当α＝60°，求证：△ABE ≌△CBD ；(2)在(1)的条件下，连接CD ，若AE ＝1，试求BD 的长；(3)如图②，当α＝90°时，请写出BDAE的值．第8题图(1)证明：如解图①，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理△EBD 也是等边三角形，∴AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABE ＝60°－∠EBC ＝∠CBD ， 在△ABE 与△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD∴△ABE ≌△CBD ；第8题解图①(2)证明：∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°， ∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－60°＝30°. 在Rt △EDC 中，CD ED ＝tan30°＝33，∴AE BD ＝33，∴BD ＝3AE ＝3；(3)解：如解图②，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠EBD ＝90°，∠ACB ＝∠EDB ＝60°， ∴△ABC ∽△EBD ， ∴AB EB ＝BC BD ，即AB BC ＝EB BD， 又∵∠ABE ＝90°－∠EBC ＝∠CBD ，∴△ABE ∽△CBD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴AE CD ＝BEBD， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°，∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－(90°－∠BDE )＝60°， 设BD ＝x ，则在Rt △EBD 中，DE ＝2x ，BE ＝3x ， 在Rt △EDC 中，CD ＝DE ·tan60°＝23x ， ∴AE ＝CD ·BE BD ＝23x ·3x x ＝6x ＝6BD ，即BD AE ＝16.第8题解图②★9. 在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到△A 1BC 1.(1)如图①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝________°； (2)如图②，连接AA 1，CC 1. 若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 逆时针旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差.第9题图(1)解：60；【解法提示】由旋转得：∠A 1C 1B ＝∠C ＝30°，BC ＝BC 1， ∴∠C ＝∠BC 1C ＝30°， ∴∠CC 1A 1＝60°.(2)解：∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1， ∴BA BC ＝BA 1BC 1， ∵∠ABA 1＝∠CBC 1， ∴△ABA 1∽△CBC 1， ∴S △ABA 1S △CBC 1＝(AB BC)2＝(611)2＝36121，∵S △ABA 1＝24， ∴S △CBC 1＝2423；(3)解：如解图，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上， 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·sin30°＝5.5，以B 为圆心，BD 长为半径画圆交AB 于点P 1′，BP 1有最小值BP 1′. ∴EP 1的最小值为5.5－3＝2.5，以B 为圆心，BC 长为半径画圆交AB 的延长线于点P 1″，BP 1有最大值BP 1″. 此时EP 1的最大值为11＋3＝14，∴线段EP 1的最大值与最小值的差为14－2.5＝11.5.第9题解图★10. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 与AD 相交于F .过F 作FG ⊥BE ，过A 作AG ⊥AB ，AG 与FG 相交于G .(1)如图①，若AC ＝5，DF ＝3，求AB 的长； (2)证明：△BFG 是等腰直角三角形；(3)如图②，当BD ＝2CD 时，连接CF 并延长，分别交AB ，BG 于点H ，I ，求AHHI的值．第10题图(1)解：在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°， ∴BD ＝AD ， ∵BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB ＝∠BDA ＝90°， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠F AE ＝∠FBD ， 在△BFD 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FBD ＝∠CAD ∠FDB ＝∠CDA BD ＝AD， ∴△BFD ≌△ACD ， ∴BF ＝AC ＝5，在Rt △BDF 中，由勾股定理得BD ＝BF 2－DF 2＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝BD cos ∠ABD ＝4cos45°＝42；第10题解图(2)如解图，过F 作FP ∥BC 交AB 于点P ， 则∠AFP ＝∠ADB ＝90°， ∠APF ＝∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝45°， ∴∠FP A ＝∠F AP ， ∴PF ＝AF . ∵∠BFG ＝90°， ∴∠AFP ＝∠BFG ，∴∠AFG ＋∠GFP ＝∠GFP ＋∠PFB ， ∴∠AFG ＝∠PFB ， 设FG 交AB 于Q ， ∵∠GAB ＝∠GFB ＝90°，∠AQG ＝∠FQB ， ∴∠AGQ ＝∠FBQ ， 在△AFG 和△PFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFG ＝∠PFB ∠AGF ＝∠PBF AF ＝PF， ∴△AFG ≌△PFB (AAS)， ∴GF ＝BF ， ∵BF ⊥GF ，∴△BFG 是等腰直角三角形；(3)解：∵三角形的三条高交于一点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴CH ⊥AB ， ∵∠ABD ＝45°， ∴BH ＝CH . ∵BD ＝2CD ，设CD ＝m ，则BC ＝3m ， ∴BH ＝CH ＝322m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝22m ， ∴AH ＝AB －BH ＝22m －322m ＝22m .由(2)知△BFG 是等腰直角三角形，∴∠GBF ＝45°＝∠ABD ， ∴∠IBH ＝∠EBC ，∵∠BHI＝∠BDF＝90°，∴△BIH∽△BFD，∴BHBD＝IHFD，即322m2m＝IHm，解得HI＝324m，∴AHHI＝22m324m＝23.。