第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1因动点产生的相似三角形问题例1 2014 年衡阳市中考第 28 题例2 2014 年益阳市中考第 21 题例3 2015 年湘西州中考第 26 题例4 2015 年张家界市中考第 25 题例5 2016 年常德市中考第 26 题例6 2016 年岳阳市中考第 24 题例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题§1．2因动点产生的等腰三角形问题例9 2014 年长沙市中考第 26 题例10 2014 年张家界市第 25 题例11 2014 年邵阳市中考第 26 题例12 2014 年娄底市中考第 27 题例13 2015 年怀化市中考第 22 题例14 2015 年长沙市中考第 26 题例15 2016 年娄底市中考第 26 题例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题§1．3因动点产生的直角三角形问题例19 2015 年益阳市中考第 21 题例20 2015 年湘潭市中考第 26 题例21 2016 年郴州市中考第 26 题例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题§1．4因动点产生的平行四边形问题例24 2014 年岳阳市中考第 24 题例25 2014 年益阳市中考第 20 题例26 2014 年邵阳市中考第 25 题例27 2015 年郴州市中考第 25 题例28 2015 年黄冈市中考第 24 题例29 2016 年衡阳市中考第 26 题例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题§1．5因动点产生的面积问题例32 2014 年常德市中考第 25 题例33 2014 年永州市中考第 25 题例35 2015 年邵阳市中考第 26 题例36 2015 年株洲市中考第 23 题例37 2015 年衡阳市中考第 28 题例38 2016 年益阳市中考第 22 题例39 2016 年永州市中考第 26 题例40 2016 年邵阳市中考第 26 题例41 2016 年陕西省中考第 25 题§1．6因动点产生的相切问题例42 2014 年衡阳市中考第 27 题例43 2014 年株洲市中考第 23 题例44 2015 年湘潭市中考第 25 题例45 2015 年湘西州中考第 25 题例46 2016 年娄底市中考第 25 题例47 2016 年湘潭市中考第 26 题例48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题例49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题§1．7因动点产生的线段和差问题例50 2014 年郴州市中考第 26 题例51 2014 年湘西州中考第 25 题例53 2015 年济南市中考第 28 题例54 2015 年沈阳市中考第 25 题例55 2016 年福州市中考第 26 题例56 2016 年张家界市中考第 24 题例57 2016 年益阳市中考第 21 题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1由比例线段产生的函数关系问题例1 2014 年常德市中考第 26 题例2 2014 年湘潭市中考第 25 题例3 2014 年郴州市中考第 25 题例4 2015 年常德市中考第 25 题例5 2015 年郴州市中考第 26 题例6 2015 年邵阳市中考第 25 题例7 2015 年娄底市中考第 26 题例8 2016 年郴州市中考第 25 题例9 2016 年湘西州中考第 26 题例 102016年上海市静安区青浦区中考模拟第25 题例 112016年哈尔滨市中考第 27 题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014 年长沙市中考第 25 题例2 2014 年怀化市中考第 23 题例3 2014 年湘潭市中考第 26 题例4 2014 年株洲市中考第 24 题例5 2015 年衡阳市中考第 27 题例6 2015 年娄底市中考第 25 题例7 2015 年永州市中考第 26 题例8 2015 年长沙市中考第 25 题例9 2015 年株洲市中考第 24 题例10 2016 年怀化市中考第 22 题例11 2016 年邵阳市中考第 25 题例12 2016 年株洲市中考第 26 题例13 2016 年长沙市中考第 25 题例14 2016 年长沙市中考第 26 题§3．2几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014 年衡阳市中考第 26 题例16 2014 年娄底市中考第 26 题例17 2014 年岳阳市中考第 23 题例18 2015 年常德市中考第 26 题例19 2015 年益阳市中考第 20 题例20 2015 年永州市中考第 27 题例21 2015 年岳阳市中考第 23 题例22 2016 年常德市中考第 25 题例23 2016 年衡阳市中考第 25 题例24 2016 年永州市中考第 27 题例25 2016 年岳阳市中考第 23 题例26 2016 年株洲市中考第 25 题例27 2016 年湘潭市中考第 25 题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1图形的平移例1 2015 年泰安市中考第 15 题例2 2015 年咸宁市中考第 14 题例3 2015 年株洲市中考第 14 题例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第18 题§4．2图形的翻折例 52016年上海市奉贤区中考模拟第18 题例 62016年上海市静安区青浦区中考模拟第18 题例 72016年上海市闵行区中考模拟第18 题例 82016年上海市浦东新区中考模拟第18 题例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第18 题例10 2016 年常德市中考第 15 题例11 2016 年张家界市中考第 14 题例12 2016 年淮安市中考第 18 题例13 2016 年金华市中考第 15 题例14 2016 年雅安市中考第 12 题§4．3图形的旋转例 152016 年上海昂立教育中学生三模联考第18 题例16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题例17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18 题例19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题例20 2016 年邵阳市中考第 13 题例21 2016 年株洲市中考第 4 题§4．4三角形例22 2016 年安徽省中考第 10 题例23 2016 年武汉市中考第 10 题例24 2016 年河北省中考第 16 题例25 2016 年娄底市中考第 10 题例27 2016 年台州市中考第 10 题例28 2016 年陕西省中考第 14 题例29 2016 年内江市中考第 11 题例30 2016 年上海市中考第 18 题§4．5四边形例31 2016 年湘西州中考第 11 题例32 2016 年益阳市中考第 4 题例33 2016 年益阳市中考第 6 题例34 2016 年常德市中考第 16 题例35 2016 年成都市中考第 14 题例36 2016 年广州市中考第 13 题例37 2016 年福州市中考第 18 题例38 2016 年无锡市中考第 17 题例39 2016 年台州市中考第 15 题§4．6圆例40 2016 年滨州市中考第 16 题例41 2016 年宁波市中考第 17 题例42 2016 年连云港市中考第 16 题例43 2016 年烟台市中考第 17 题例45 2016 年无锡市中考第 18 题例46 2016 年武汉市中考第 9 题例47 2016 年宿迁市中考第 16 题例48 2016 年衡阳市中考第 17 题例49 2016 年邵阳市中考第 18 题例50 2016 年湘西州中考第 18 题例51 2016 年永州市中考第 20 题§4．7函数的图象及性质例52 2015 年荆州市中考第 9 题例53 2015 年德州市中考第 12 题例54 2015 年烟台市中考第 12 题例55 2015 年中山市中考第 10 题例56 2015 年武威市中考第 10 题例57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题例58 2016 年湘潭市中考第 18 题例59 2016 年衡阳市中考第 19 题例60 2016 年岳阳市中考第 15 题例61 2016 年株洲市中考第 9 题例63 2016 年岳阳市中考第 8 题例64 2016 年岳阳市中考第 16 题例65 2016 年益阳市中考第 14 题例66 2016 年株洲市中考第 10 题例67 2016 年株洲市中考第 17 题例68 2016 年东营市中考第 15 题例69 2016 年成都市中考第 13 题例70 2016 年泰州市中考第 16 题例71 2016 年宿迁市中考第 15 题例72 2016 年临沂市中考第 14 题例73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题例74 2016 年淄博市中考第 12 题例75 2016 年嘉兴市中考第 16 题WORD 格式 可编辑§1． 1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠ A ＝∠ D ，探求△ ABC 与△ DEF 相似， 只要把夹∠ A 和∠ D 的两边表示出来， 按照对应边成比例，分AB DE和AB DF两种情况列方程．AC DF ACDE应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图 1，如果已知 A 、 B 两点的坐标，怎样求 A 、 B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了．水平距离 BC 的长就是 A 、B 两点间的水平距离， 等于 A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A 、 B 两点间的竖直距离，等于 A 、 B 两点的纵坐标相减．图 1例 12014 年湖南省衡阳市中考第 28 题二次函数 y ＝ a x 2＋b x ＋ c （a ≠ 0）的图象与 x 轴交于 A ( － 3, 0) 、 B (1, 0) 两点，与 y 轴交于点 C (0, － 3m ) （m ＞ 0），顶点为 D ．（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示） ；（ 2）如图 1，当 m ＝ 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及S 的最大值；（ 3）如图 2，当 m 取何值时，以 A 、 D 、 C 三点为顶点的三角形与△ OBC 相似？图1图2动感体验请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC 的中点的正下方时，△ APC 的面积最大．拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ ACD 和∠ ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结 OP ，△ APC 可以割补为：△AOP 与△ COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ ACD 与△ OBC 相似，先确定△ ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形 ACD 存在两种情况．图文解析（ 1）因为抛物线与x 轴交于( －3, 0) 、 (1, 0) 两点，设 y ＝ ( x ＋ 3)( x －1) ．A Ba 代入点 (0, －3 )，得－ 3 ＝－3 ．解得 ＝ ．C m m a a m2所以该二次函数的解析式为 y ＝ m ( x ＋ 3)( x － 1) ＝ mx ＋ 2mx － 3m ．（ 2）如图 3，连结 OP ．当 m ＝2 时， C (0, － 6) ， y ＝ 2x 2＋ 4x －6，那么 P ( x , 2 x 2＋ 4x － 6) ．由于△ AOP ＝1OA ( y P ) ＝3 2＋ 4 －6) ＝－ 3 2 －6 ＋9， S2 2(2 xx x xS △ COP ＝ 1OC ( x P ) ＝－ 3x ，S △AOC ＝ 9，2所以 S ＝S ＝S ＋S －S 23 ) 227 ＝－ 3x－ 9x ＝ 3(x．△ APC △ AOP △ COP △ AOC24所以当 x3时， S 取得最大值，最大值为 27 ．24图3图4 图5（ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为E ．过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于F ．由 y ＝m ( x ＋ 3)( x － 1) ＝ m (x ＋ 1) 2－ 4m ，得 D ( －1, － 4m ) ．在 Rt △ OBC 中， OB ∶ OC ＝1∶ 3m ．如果△ ADC 与△ OBC 相似，那么△ ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 1∶3m ． ① 如图 4，当∠ ACD ＝ 90°时，OAOC ．所以 3 3m．解得 m ＝ 1．ECEDm1此时CAOC 3，OC3 ．所以 CA OC．所以△ CDA ∽△ OBC ． CDED OB CD OB② 如图 5，当∠ ADC ＝ 90°时，FAFD ．所以 4m 2．解得 m2 ．ED EC1 m2此时DAFD 2 2 2 ，而OC3m 3 2 ．因此△ DCA 与△ OBC 不相似．DCECmOB 2综上所述，当 m ＝ 1 时，△ CDA ∽ △OBC ．考点伸展第（ 2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与AC 交于点 H ．由直线 AC ： y ＝－ 2x － 6，可得 H ( x , － 2x －6) ． 又因为 P ( x , 2 x 2＋4x － 6) ，所以 HP ＝－ 2x 2－ 6x ．因为△ PAH 与△ PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、 C 两点间的水平距离 3，所以S ＝ S △APC ＝ S △ APH ＋S △ CPH＝ 3( － 2x 2－ 6x ) 2 ＝ 3( x3 ) 2 27 ． 图 624WORD 格式可编辑例 22014年湖南省益阳市中考第21 题如图 1，在直角梯形ABCD中， AB// CD， AD⊥ AB，∠ B＝60°，AB＝10，BC＝4，点 P 沿线段AB从点 A 向点 B运动，设 AP＝ x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（ 3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若 S＝ S1＋ S2，求 S 的最小值.动感体验图 1请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点P 在 AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点 P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（ 2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（ 3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求 S 的函数关系式．图文解析（ 1）如图 2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝ 4，所以BH＝2，CH＝2 3．所以（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△形．①如图 3，当∠CPB＝ 90°时，AP＝ 10－ 2＝ 8．AD＝2 3．PCB一定是直角三角所以AP＝8＝43，而PC＝3．此时△与△不相似．AD 2 33PB APD PCB图2图3图4②如图 4，当∠BCP＝ 90°时，BP＝ 2BC＝ 8．所以AP＝2．WORD 格式可编辑所以AP＝2＝3．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．AD 2 33综上所述，当x＝2时，△ APD∽ △CBP．（ 3）如图 5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点 G是斜边 DP的中点．设△ PCB的外接圆的圆心为O，那么点 O在 BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点 E，与 AB交于点 F．设AP＝2m．作 OM⊥ BP于 M，那么 BM＝ PM＝5－ m．在 Rt△BEF中，BE＝ 2，∠B＝ 60°，所以BF＝ 4．在 Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝ 4－(5 －m) ＝m－ 1，∠OFM＝ 30°，所以＝33所以2＝2＋2＝(5m)21(m2．OB BM OM31)222222在 Rt△ADP中，DP＝AD＋AP＝ 12＋ 4m．所以GP＝3＋m．1222于是 S＝S＋ S ＝π( GP＋ OB)＝3m2(5m)21(m1)2＝(7m232m 85) ．33所以当 m 16时， S 取得最小值，最小值为113 ．77图5图6考点伸展关于第（ 3）题，我们再讨论个问题．问题 1，为什么设＝ 2 呢？这是因为线段＝＋＋＝＋2＝ 10．AP m AB AP PM BM AP BM 这样 BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题 2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图 6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝ BM－ BF＝(5－ m)－4＝1－ m．此时2＝2＋2＝(5 m)21(12．这并不影响S 关于 m的解析式．OB BM OM3m)例 32015年湖南省湘西市中考第26 题如图 1，已知直线y＝－ x＋3与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，抛物线y＝－ x2＋bx＋ c 经过 A、 B两点，点 P 在线段 OA上，从点 O出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点 Q在线段 AB上，从点 A 出发，向点 B以每秒 2 个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE// y轴，交AB于点 E，过点Q作QF// y轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF// PQ时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M为顶点的三角形与以 O、 B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图 1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在 OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝ 45°，夹∠A的两条边A P、AQ都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F 的坐标，根据PE＝ QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（ 1）由y＝－x＋ 3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将 (3, 0)、 (0, 3)分别代入y ＝－x2＋bx＋，得93b c0, 解得 b2,A B c c 3.c 3.所以抛物线的解析式为y＝－ x2＋2x＋3．（ 2）在△APQ中，∠PAQ＝ 45°，AP＝ 3－t，AQ＝2 t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠ PQA＝90°时，AP＝ 2 AQ．解方程3－ t ＝2t ，得 t ＝1（如图2）．②当∠ QPA＝90°时，AQ＝ 2 AP．解方程 2 t ＝ 2 (3－ t )，得 t ＝1.5（如图3）．图2图3（ 3）如图 4，因为PE// QF，当EF// PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以 EP＝ FQ．所以 y E－ y P＝ y F－y Q．22因为 x P＝t ，x Q＝3－ t ，所以 y E＝3－ t ，y Q＝ t ，y F＝－(3－t )＋2(3－t )＋3＝－ t ＋4t ．因为 y E－y P＝ y F－ y Q，解方程3－ t ＝(－ t 2＋4t )－t，得 t ＝1，或 t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图 4图 522．（ 4）由y＝－x＋2x＋ 3＝－ ( x－ 1) ＋ 4，得M(1, 4)由 A(3, 0)、 B(0,3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3 2 ．由 (0, 3)、 (1,4)，可知、两点间的水平距离、竖直距离相等，＝2．B M B M BM 所以∠ MBQ＝∠ BOP＝90°．因此△MBQ与△ BOP相似存在两种可能：①当BMOB 时，3223．解得 t9（如图 5）．BQ OP2t t4②当BMOP 时，2t．整理，得 t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．BQ OB322t3考点伸展第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由(,0)，(, 3－t ) ，Q(3－,t)，按照→P t E t t P E 方向，将点 Q向上平移，得 F(3－ t , 3)．再将 F(3－t , 3)代入 y＝－ x2＋2x＋3，得 t ＝1，或 t＝3．WORD 格式可编辑§1． 2因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ ABC是等腰三角形，那么存在① AB＝AC，② BA＝BC，③ CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ ABC的∠ A（的余弦值）是确定的，夹∠ A 的两边 AB和 AC可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图 1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图 2，如果BA＝BC，那么1AC AB cos A ；2③如图 3，如果CA＝CB，那么1AB AC cos A ．2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1图2图3WORD 格式 可编辑例 92014年长沙市中考第 26 题如图 1，抛物线 y ＝ ax 2＋bx ＋ c （ a 、b 、c 是常数， a ≠ 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和 ( a , 1) 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙ P 总经过定点 A (0, 2) ．16（ 1）求 a 、 b 、c 的值；（ 2）求证：在点 P 运动的过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交；（ 3）设⊙ P 与 x 轴相交于 M ( x 1, 0) 、 N ( x 2, 0) 两点，当△ AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动， 可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙ P 在 x 轴上截得的弦长 MN ＝ 4 是定值．2．等腰三角形存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，＝ 和AMNMA MN NA＝NM 时，点 P 的纵坐标是相等的．图文解析（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0) ，所以 y ＝ax 2．所以 b ＝0， c ＝ 0．将 ( a ,1) 代入 y ＝ax 2，得1a 2．解得 a1（舍去了负值） ．16164（ 2）抛物线的解析式为 y1 x2 ，设点 P 的坐标为 ( x, 1 x 2 ) ．44已知 A (0, 2) ，所以 PAx 2( 1 x 22)21 x 4 4 ＞ 1x 2 ．416 4而圆心 P 到 x 轴的距离为1x 2 ，所以半径 PA ＞圆心 P 到 x 轴的距离．4所以在点 P 运动的过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交．（ 3）如图 2，设 MN 的中点为 H ，那么 PH 垂直平分MN ．在 △ 中， 2 21 4 212 1 4MH ＝ ． Rt PMH PMPAx 4，PH( x)x ，所以 24 164 16所以 MH ＝ 2．因此 MN ＝ 4，为定值．WORD 格式可编辑①如图 3，当＝时，点P 为原点重合，此时点P的纵坐标为 0．AM AN O图 2图 3②如图 4，当MA＝MN时，在 Rt △AOM中，OA＝ 2，AM＝ 4，所以OM＝2 3 ．此时 x＝ OH＝2 3 2 ．所以点P的纵坐标为1x21(2 3 2)2(31)2423．44如图 5，当＝时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为 4 2 3．NA NM图 4图 5③如图 6，当NA＝NM＝ 4 时，在 Rt△AON中，OA＝ 2，AN＝ 4，所以ON＝23 ．此时 x＝ OH＝2 3 2．所以点 P 的纵坐标为1x21(2 3 2)2( 3 1)2 4 23．44如图 7，当MN＝MA＝ 4 时，根据对称性，点P的纵坐标也为 42 3 ．图 6图 7考点伸展如果点 P 在抛物线y1x2上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1) ，那么在点4WORD 格式可编辑P运动的过程中，⊙ P 始终与直线 y＝－1相切．这是因为：设点 P的坐标为(x,1x2 ) ．4已知 (0, 1) ，所以PBx21221221x21．444而圆心 P 到直线 y＝－1的距离也为1x2 1 ，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－ 1 的距4离．所以在点 P 运动的过程中，⊙P始终与直线 y＝－1相切．例 102014年湖南省张家界市中考第25题如图 1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y＝ax2＋ bx＋c（ a≠0）过 O、 B、C三点，、坐标分别为 (10, 0)和(182455x 轴于 B 点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙ A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段 ME长为 m， MF长为 n，请猜想 mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q同时从B出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过t （0＜ t ≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在 BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（ 3）题连结AE、 AF容易看到 AM是直角三角形EAF斜边上的高．4．第（ 4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．专业知识整理分享WORD 格式 可编辑图文解析（ 1）直线 BC 的解析式为 y3 x15 ．4 2（ 2）因为抛物线与 x 轴交于 O 、 B (10, 0) 两点，设 y ＝ ax ( x － 10) ．代入点 C 18 ,24 ，得 24 a 1832 ) ．解得 a 5 ．55 245 55所以 y5 x( x10)5 x 2 25 x5 (x 5)2 125 ．2424 12 2424抛物线的顶点为 (5,125) ．24（ 3）如图 2，因为 EF 切⊙ A 于 M ，所以 AM ⊥EF ． 由 AE ＝ AE ， AO ＝ AM ，可得 Rt △ AOE ≌ Rt △ AME ．所以∠ 1＝∠ 2．同理∠ 3＝∠ 4．于是可得∠ EAF ＝ 90°．所以∠ 5＝∠ 1．由 tan ∠5＝ tan ∠1，得 MAME．MFMA2所以 ME ·MF ＝ MA ，即 mn ＝25．图 2（ 4）在△ BPQ 中， cos ∠B ＝ 4， BP ＝ 10－ t ， BQ＝ t ． 5分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：① 如图 3，当 BP ＝ BQ 时， 10－ t ＝t ．解得 t ＝ 5．② 如图 4，当＝时， 1 BQ BP cos1 t4 t) ，得 t80．22 513③ 如图 5，当 QB ＝ QP 时， 1BPBQ cos B ．解方程 1(10 t )4 t ，得 t 50 ． 225 13图3 图4 图5考点伸展在第（ 3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与 x 轴相切于点．A如图 6，这是因为既是直角三角形斜边上的中线， 也是直角梯形的中位线，AGEAFEOBF因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与 x 轴相切于点 A ．专业知识整理分享WORD 格式可编辑图 6例 112014年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B 两点（点A位于点 B的右侧），与y 轴相交于点C．（1）若m＝ 2，n＝ 1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是 (0, － 1) ，求∠ACB的大小；（3）若m＝ 2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点 B 在 x 轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n 表示点 A、 B、 C的坐标．2．第（ 2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（ 3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析2（ 1）由y＝x－ ( m＋n) x＋mn＝( x－m)( x－n) ，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A( m, 0)，B(n, 0)．若m＝2， n＝1，那么 A(2, 0)， B(1, 0)．．（ 2）如图 1，由于C(0,mn)，当点 C的坐标是(0,－1)， mn＝－1， OC＝1．若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧，那么OA·OB＝ m(－n)＝－ mn＝1．2OC OB所以 OC＝ OA·OB．所以OA．OC所以 tan ∠ 1＝ tan ∠ 2．所以∠ 1＝∠ 2．又因为∠ 1 与∠ 3 互余，所以∠ 2 与∠3 互余．专业知识整理分享WORD 格式可编辑所以∠ ACB＝ 90°．图1图2图3（ 3）在△ABC中，已知A(2,0)，B( n,0) ，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得222222 AB＝( n－2)， BC＝5n ，AC＝4＋4n ．① 当＝时，解方程 (－ 2)224（如图 2）．AB AC n＝ 4＋4n ，得 n32 2②当 CA＝ CB时，解方程4＋4n ＝5n ，得 n＝－2（如图3），或 n＝2（ A、B 重合，舍去）．③ 当＝时，解方程 (n－2)22 5 151（如图225）．图4图5考点伸展第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于 (0,) ，当点C 的坐标是 (0, － 1) ，＝－ 1．C mn mn由(,0)， (, 0)， (0, －1) ，得2＝( －) 2＝2－2＋2＝2＋2＋ 2，A mB nC AB m n m mn n m n2222BC＝n ＋1， AC＝ m＋1．222所以 AB＝ BC＋ AC．于是得到Rt△ ABC，∠ ACB＝90°．第（ 3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于 CA＝ CB的情况，此时A、 B 两点关于 y 轴对称，可以直接写出B(－2, 0)， n＝－2．专业知识整理分享WORD 格式 可编辑例 122014 年湖南省娄底市中考第 27 题如图 1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，AC ＝ 4cm ，BC ＝ 3cm ．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连结 PQ ，设运动时间为 t （ s ）（0＜ t ＜ 4），解答下列问题：（ 1）设△ APQ 的面积为 S ，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（ 2）如图 2，连结 PC ，将△ PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP ′C ，当四边形 PQP ′ C为菱形时，求 t 的值；（ 3）当 t 为何值时，△ APQ 是等腰三角形？图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14 娄底 27”，拖动点Q 在 上运动，可以体验到，当点P 运AC动到的中点时，△的面积最大，等腰三角形存在三种情况．还可以体验到，当ABAPQAPQ＝ 2 时，四边形 ′ 是菱形．QC HCPQP C思路点拨1．在△ APQ 中，∠ A 是确定的，夹∠ A 的两条边可以用含 t 的式子表示． 2．四边形 PQP ′ C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（ 1）在 Rt △ ABC 中， AC ＝ 4， BC ＝3，所以 AB ＝ 5， sin A ＝ 3 ， cos A ＝ 4．5 5作 QD ⊥ AB 于 D ，那么 QD ＝ AQ sin A ＝ 3t ． 5所以 S ＝S ＝1 AP QD ＝1 t) 33 23 52 15 ．△ APQ225 101028当 t5时， S 取得最大值，最大值为15 ．28（ 2）设 PP ′与 AC 交于点 H ，那么 PP ′⊥ QC ， AH ＝ AP cos A ＝ 4(5 t) ．5如果四边形 PQP ′ C 为菱形，那么 PQ ＝ PC ．所以 QC ＝2HC ．专业知识整理分享解方程 4 t 244(5 t) ，得 t 20 ．513图 3图 4（ 3）等腰三角形 APQ 存在三种情况：① 如图 5，当＝ 时， 5－ ＝ ．解得t5．APAQtt2② 如图 6，当 PA ＝ PQ 时，1 AQ AP cos A ．解方程 1 t 4 (5 t) ，得 t 40 ．22 513 ③ 如图 7，当 QA ＝ QP 时，1APAQ cos A ．解方程 1(5t) 4 t ，得 t 25 ．225 13图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点 Q 是△ PP ′ C 的重心，求 t 的值．如图 8，如果点 Q 是△ PP ′ C 的重心，那么 QC ＝ 2HC ．3解方程 4 t2 44(5 t) ，得 t60 ．3523图 8例 132015 年湖南省怀化市中考第 22 题如图 1，已知 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°，AC ＝ 8， BC ＝ 6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从A向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A → B →C 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P 、 Q 运动的时间为 t 秒．专业知识 整理分享（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（ 3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（5 2.24 ，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15 怀化 22”，拖动点P 在 AC上运动，可以体验到，PQ与 BD 保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况．思路点拨1．过点B作QP的平行线交AC于 D，那么 BD的长就是 PQ的最大值．2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在 AB、 BC上．3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（ 1）在 Rt △ABC中，AC＝ 8，BC＝6，所以AB＝ 10．如图 2，当点Q在AB上时，作BD// PQ交AC于点D，那么ABAQ2t 2 ．AD AP t所以 AD＝5．所以 CD＝3．如图 3，当点Q在BC上时，CQ162t2．CP8t又因为CB6 2 ，所以CQCB．因此 PQ// BD．所以 PQ的最大值就是BD．CD3CP CD在 Rt△BCD中，BC＝ 6，CD＝ 3，所以BD＝3 5 ．所以 PQ的最大值是 3 5 ．图2图3图4（ 2）① 如图 2，当点Q在AB上时， 0＜t≤5，S△ABD＝15．专业知识整理分享----WORD 格式 可编辑由△ AQP ∽ △ ABD ，得 S △ AQP( AP 2 ．所以 S ＝ St2 ＝3 2 ．S △ ABDAD△ AQP55② 如图 3，当点在上时， 5＜ t ≤ 8， △ABC ＝ 24．Q BC S因为S ＝1 CQ CP ＝ 1 (16 2t )(8 t) ＝ ( t 8)2 ，△ CQP22△ ABC△ CQP22＋ 16t － 40．所以 S ＝S － S ＝ 24－( t － 8) ＝－ t（ 3）如图 3，当点 Q 在 BC 上时， CQ ＝ 2CP ，∠ C ＝ 90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点 Q 在 AB 上时，我们先用 t 表示△ PQC 的三边长：易知 CP ＝ 8－ t ．如图 2，由 QP // BD ，得QPAP ，即 QPt．所以 QP3 5 t ．BDAD 3 5 55如图 4，作 QH ⊥ AC 于 H ．在 Rt △ AQH 中， QH ＝AQ sin∠A ＝ 6 t ， AH ＝8t ．55在 Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝QH 2 CH 2 ＝ ( 6 t) 2 (8 8 t) 2 ．55分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（ 1）① 当 PC ＝ PQ 时，解方程 8t 3 5 t ，得 t6 5 10 ≈ 3.4 （如图 5所示）．5② 当 QC ＝ QP 时，( 6t) 2(8 8 t) 2 35t ．整理，得 11t 2128t 320 0．55 5所以(11t －40)(t －8) ＝ ．解得t 40 ≈ 3.6（如图 6 所示），或 t ＝ （舍去）．118③ 当 CP ＝ CQ 时， 8t( 6t )2(88t) 2 ．整理，得 5t 216t0 ．55解得 t16＝ 3.2 （如图 7所示），或 t ＝ 0（舍去）．5综上所述，当 t 的值约为 3.4 ， 3.6 ，或等于 3.2 时，△ PQC 是等腰三角形．图5图6 图7考点伸展。