评注 若已知 (或其他定值)，要求 的最大值，则同样可运用此法.
8、 巧组合
例8 若 且 ,求 的最小值 .
分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用 +b来解决.换个思路，可考虑将 重新组合，变成 ，而 等于定值 ，于是就可以利用均值不等式了.
9、 消元
例9、设 为正实数， ，则 的最小值是.
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
① ②
解析：
① ，∴
，当且仅当 即 时，“=”号成立，故此函数最大值是1。② ，则 ，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。
证明：
任取 且 ，则
，
∵ ，∴ ，
则 ，即 在 上是减函数。
故当 时， 在 上有最小值5。
解法二：（配方法）因 ，则有 ，易知当 时， 且单调递减，则 在 上也是减函数，即 在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值5。
解法三：（导数法）由 得 ，当 时， ，则函数 在 上是减函数。故当 时， 在 上有最小值5。
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知 ，且满足 ，求 的最大值.
分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 是否定值，
而已知是 与 的和为定值 ，故应先配系数，即将 变形为 ，再用均值不等式.
当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 的最大值是 .
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用 来解决.
用均值不等式求最值的方法和技巧
桃源县第九中学 朱梅芳
均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式
① 当且仅当a =b时，“=”号成立；
② 当且仅当a = b时，“=”号成立；
③ 当且仅当a =b =c时,“=”号成立；
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
②熟悉一个重要的不等式链： 。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数 的最小值。
解析：
，当且仅当 即 时，“=”号成立，故此函数最小值是 。
解法二：（消元法）
由 得 ，由 则 。当且仅当 即 时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法三：（三角换元法）
令 则有
则
，易求得 时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
解法四：（拆分法） ，当且仅当 时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足 ，求 的最小值。
解法一：（利用均值不等式）
,当且仅当 即 时“=”号成立，故此函数最小值是18。
,当且仅当 ，即 时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是 。
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y ，求 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，函数 是减函数。
故 的最大值是 .
评注 本题也可将 纳入根号，即将所求式化为 ，先配系数，再运用均值不等式的变式.
6、 换元（整体思想）
例6 求函数 的最大值.
分析 可先令 ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
7、 逆用条件
例7 已知 ,则 的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求 的最小值，而无法求 的最小值.这时可逆用条件，即由 ，得 ，然后展开即可解决问题.
2011年1月2日
三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数 的最小值.
分析： 是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而 可与 相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即 ，再用均值不等式.
当且仅当 ，即 时,等号成立. 所以 的最小值是 .
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.
3、 裂项
例3 已知 ，求函数 的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出 ，借助于裂项解决问题.
当且仅当 ，即 时，取等号. 所以 .
4、 取倒数
例4 已知 ，求函数 的最小Fra bibliotek.分析 分母是 与 的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
例5、已知正数 满足 ，试求 、 的围。
解法一：
由 ，则 ，即 解得 ，当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值围是 。
又 ，当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值围是
解法二：
由 ， 知 ，
则 ，由 ，则：
，当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值围是 。
，当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值围是 。
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 ，则可对 进行消元，用 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
练习：1、试填写两个正整数，满足条件 ，且使这两个正整数的和最小。
2、试分别求： ； 最大值。
3、求 最小值。
总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。
解 由 ，得 ， .
取倒数，得
当且仅当 ，即 时，取等号.
故 的最小值是 .
5、 平方
例5 已知 且 求 的最大值.
分析 条件式中的 与 都是平方式，而所求式中的 是一次式， 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.