0,
x , 其中参数?>0为未知，从 x ,
总体中抽取样本X1, X2, …, Xn，其样本观察值为 x1, x2, …, xn，
(1)求参数? 的最大似然估计 ；
(2)讨论 是否具有无偏性；
(3)若 不是? 的无偏估计量，修正它，并由此指出? 的一个无偏量估计 ?。
(4) 讨论 是否具有相合性；
。
2．设总体
X
的密度函数为
f
(x, )
e(x ) ,
0,
个简单随机样本，则参数 的矩估计量为
x x
，， ，
X
1,
X
2
,,
X
n
为来自该总体的一
。
3．已知ˆ1 ,ˆ2 为未知参数 的两个无偏估计，且ˆ1 与ˆ2 不相关， D(ˆ1) 4D(ˆ2) 。如果
ˆ3 aˆ1 bˆ2 也是 的无偏估计，且是ˆ1 ,ˆ2 的所有同类型线性组合中方差最小的，则
4
4
4. S2 是 的无偏估计，但 S 不是 的无偏估计； (n-1)/n S2 是 的最大似然估计，所以
只有当总体是正态分布时，才有 S 与 相互独立。
是 的最大似然估计；
6.
E 1 n
n i 1
(Xi
)2
1 n
n i 1
E( X i
)2
1 n
n
2
2。
7. E ˆ2 D ˆ E ˆ 2 D ˆ 2 2 。
的最大似然估计值为ˆ min(x1, x2, , xn) ，于是? 的最大似然估计量为
ˆ min(X1, X2, ,Xn ) 。
(2)设总体X的分布函数为 F(x)
x
1 e2(x ) , f (t)dt
0,
x , x ,
Fmin (z)
1 (1
FX ((z))n
1 e2n(z ) , 0,
i1 n 1
(C)当 μ 为未知时， n ( X i )2 ；
i 1
n
(D)当 μ 为未知时， n ( X i )2 。 i1 n 1
7．设ˆ 是参数 的无偏估计量，且 D(ˆ) 0 ，则ˆ 2 |(
)是 2 的无偏估计量。
(A)一定； (C)一定不；
(B)不一定； (D)可能。
8. 设用普通的最小二乘方法去估计线性模型，E[X]=M , 要使得参数估计为最好线性无偏估 计需要满足（ ）
《数理统计》第二章自测题
时间：120分钟，卷面分值：100 分
一、填空题：（每题 2 分，共 10 分）
得分
1．设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X1, X2, …, Xn 是取自 X 的随机样本，其均值和方差
分别为 X 和 S 2 ，如果 ˆ aX (2 3a)S 2 是 的无偏估计，则 a=
因为 E( X 2 )
0
6x3( 3
x)
dx
3 2 10
，所以
D( X
)
E(X
2)
(E(X
))2
2 20
，
D(ˆ) 2 ，又 E(ˆ) 2E( X ) ，所以是无偏的。 5n
2．【解】(1)似然函数为
L( )
n
f
(xi ;
)
n i 1
2e2( xi ) ,
i 1
0,
L( )
n i1
f (xi;
)
1, 0,
x1, x2, , xn 1, 其他,
要使
L( )
1 ，须满足
min
1in
xi ,
max
1in
xi
1，所以， max 1in
xi
1
min
1in
xi ，
即满足
max
1in
Xi
1
g ( X1,
X2,
,
X
n
)
min
1in
X
i
的统计量
g
(
X
1
,
X
2
1．(8
分)设总体
X
的概率密度函数为
f
(x, )
6x 3
(
x),
0 x , 其中参数 >0 未
0,
其它,
知，设 X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的样本，求 的矩估计量ˆ ，计算ˆ 的方差 D(ˆ) ，并讨
论ˆ 的无偏性。
得分
2．(12分)设总体X 的概率密度为
f
(x;
)
2e2(x ) ,
(A) M 列满秩，Var(X)= V (V 对称的正定阵) （B）Var(X)= (I 单位矩阵)
（C）M 列满秩，Var(X)= (I 单位矩阵) 三、判断题：（每题 1.5 分，共 15 分）
（D）（A）和（C）都对 得分
1.(
)设总体 X~N(?,?2)，?, ?2 均未知，X1, X2, …, Xn 是来自 X 的样本，则
3．由题意 a ， b 应使得 E(ˆ3) 且 D(ˆ3) 达到最小。已知 E(ˆ1) E(ˆ2) ， C ov(ˆ1,ˆ2) 0 ， E(ˆ3) aE(ˆ1) bE(ˆ2) (a b) a b 1， b 1 a ， D(ˆ3) a2D(ˆ1) b2D(ˆ2) 2cov(ˆ1,ˆ2) (4a2 (1 a)2)D(ˆ1) (5a2 2a 1)D(ˆ2)
S 2 n ( X i X )2 是?2 的 UMVUE。
i 1
n
2.(
)未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。
3.(
)对 C-R 正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。
4.(
)用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。
5. (
)用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。
dp
p 1 p
n。
n
xi
i 1
4. 【解】(1)求解参数的UMVUE。
p( x; , ) x1ex , ( )
三、判断题： 1．?；2. ?；3. ?；4. ?；5. ?；6. ?；7. ?；8. ?；9. ?；10. ?； 【提示】 3. 对 C-R 正则族，有效估计一定是一致最小方差无偏估计，但反过来，由于 UMVUE 的方差
不一定能达到 C-R 下界，所以 UMVUE 不一定是有效估计。
4. 设 X1, X2, …, Xn 为来自总体U ( , 1) 的一个样本，其中参数 未知，似然函数为
L( p) pxi (1 p)1xi p i1 (1 p) i1 pk (1 p)nk ，
i 1
两边取自然对数为 ln L( p) k ln p (n k) ln(1 p) ，令 d ln L( p) 0 ，得似然估计值为 dp
pˆ k ，由最大似然估计的不变性，可得 的最大似然估计为 n
4. 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，D(X)=σ2， 均值和样本方差，则（ ）。
和 S 2 n ( X i X )2 ，分别为样本
i1 n 1
（A）S 是 的无偏估计 （B）S 是 的最大似然估计
(C) S 是 的相合估计 （D）S 与 相互独立
5. 设 同时满足
。
二、选择题：（每题 3 分，共 24 分）
1. 设总体 X 服从[a,b](a<b)上的均匀分布，a、b 均为未知参数，
一个样本，则
的最大似然估计量为( )
（A） （C）
2．设总体 X 的概率分布为
（B） （D）
得分 为来自总体 X 的
X
0
1
2
P P 2 2 (1 ) 2
3
1 2
其中 (0< <1/2)是未知参数，从总体 X 中抽取容量为 8 的一组样本，其样本值为 3，1，3，
a=
，b=
。
4．设 X 是在一次随机试验中事件 A 发生的次数，进行了 n 次试验得一组样本 X1, X2, …, Xn，
其中事件 A 发生了 k 次，则事件 A 发生的概率为 p， 的最大似然估计为
；p(1-p)的
矩估计为
。
5.设总体
均为未知参数，
为来自总体 X 的一个样本,当用
作为 的估计时，最有效的是
1 p
，x
1 n
n i 1
xi
，
由矩估计法有 pˆ 1 x
n
n
为 p 的矩估计值。
xi
i 1
n
似然函数 L( p)
n
(1
p)xi 1
p
(1
xi n p) i1
pn
，
i 1
n
ln L( p) ( xi n) ln(1 p) n ln p ， i 1
n
令 d ln L( p) n i1 xi n 0 ，解得 pˆ
z , z ,
fmin
(z)
Fm in
(z)
2ne2 n ( z
0,
)
,
z , z ,
因为
E(ˆ)
zfˆ (z)dz
2nze2n(z )dx
0
1 2n
，所以
不是?的无偏估计量。
(3)取 1 ，则 E( ) E( 1 ) E( ) 1 ，于是即 ?是?的无偏估计量。
2n
2n
x 0.
试求参数 的UMVUE，并判断是否为有效估计。
5.(8)设总体为均匀分布U(
), 的先验分布为均匀分布U（10,16），现有三个观测值：
11.7,12.1,12.（1）求 的后验分布（2）求贝叶斯估计以及方差。
6.(6)对线性模型
EX Var( X )
M