3、多维非线性方程组的迭代公式
将F(X ) 0 展开，写成矩阵形式，则第k+1次迭代时：
(k ) (k ) (k ) f1 ( x1 , x2 , xn ) (k ) (k ) (k ) f ( x , x , x 2 n ) 2 1 (k ) (k ) (k ) f n ( x1 , x2 , xn )
Qi P i (Gij ei Bij f i ) e j f j Pi Qi Bij ei Gij f i f j e j
Vi 2 Vi 2 0 e j f j
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
计算 i=j 时雅可比矩阵各元素
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
( 0) x1 0 ( 0) x 2
(1) ( 0) ( 0) x1 x1 x1 (1) ( 0) ( 0) x2 x2 x2
第十一章 电力系统潮流计算
3、多维非线性方程组的迭代公式
基于同样的思想，我们可以得到 n维非线性方程 —牛顿 拉夫逊迭代公式
f 1 x1 f 2 x1 f n x1
k
f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2

k

k
k

k
k
f 1 x n k (k ) x1 f 2 ( k ) x 2 x n k (k ) x n f n x n k
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
第十一章 电力系统潮流计算
3.5 牛顿拉夫逊算法

牛顿拉夫逊法 牛顿－拉夫逊法潮流计算 迭代法潮流计算 潮流计算的其它问题 小结
第十一章 电力系统潮流计算
３.5 牛顿一拉夫逊法的潮流计算
核心：将非线性方程的求解转换成相应线性修正 方程多次迭代求解
第十一章 电力系统潮流计算
一、牛顿一拉夫逊法的基本原理
2、设初始点 xo , f ( xo ) 0
f ( xo x ) 0 df f ( xo ) dx f ( xo ) x df dx 1 d2 f x 2 dx 2 x 0
x0
x 2 0
x0
x0
f ( xo ) df dx x0
f ( xk ) xk 1 xk df dx xk f ( xk )
(0) (0) (0) (0) f1 ( x1 x1 , x2 x2 )0
(0) (0) (0) (0) f 2 ( x2 x2 , x2 x2 )0
第十一章 电力系统潮流计算
3、多维非线性方程组的迭代公式
展开：
(0) (0) f1 ( x1 , x2 )
f1 f (0) (0) x1 1 x 2 0 x1 0 x2 0
n
jn i
f(( ij 2f B eiB ( GB f ii B G f G fe G e G G B ij G ij e j) ij e jjii ij ij j) ii jf i f iiB i ii ei ii i j) i (Gij f j Bij e j j1) Bii ei Gii f i
F J X ( k 1) (k ) (k ) X X X
迭代收敛条件：
max(| Fi |)
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
计算 i j 时雅可比矩阵各元素
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
x1 xo x
一般迭代公式：
迭代过程的收敛判据：
第十一章 电力系统潮流计算
x 120 0 例题： 2
2
xo 10, f ( x ) x 120, f ( x ) 2 x
f ( xo ) 20 x1 x 10 11 f ( xo ) 20 f ( x1 ) 1 x2 x1 11 10.9141414 f ( x1 ) 22 f ( x2 ) 0.8815175 x3 x2 10.9141414 10.954526 f ( x2 ) 2 10.9141414 f ( x3 ) 0.00163988 x4 x3 10.954526 10.954451 f ( x3 ) 2 10.954526
xi ( k 1) xi ( k ) xi ( k )
可以缩写为：
J
(k )
(i 1, 2, , n)
(k)
X
(k )
F(X
)
其中 J ( k )
F X
k
X ( k 1) X ( k ) X ( k )
第十一章 电力系统潮流计算
讨论：
① 雅可比矩阵元素是节点电压函数，迭代过程中每 次迭代电压都要修正，因此雅可比矩阵中元素每次都 改变。 ② 雅可比矩阵不是对称阵
(0) (0) f 2 ( x1 , x2 )
f 2 f (0) (0) x1 2 x 2 0 x1 0 x2 0
f 1 x 2 f 2 x2 ( 0)
矩阵形式：
f 1 f1( 0) x1 ( 0) f 2 f 2 x1
e1 P1 e1 f Q f 1 1 1 e e P m m m f Q fm m m X X F e em 1 Pm 1 m 1 f f Y m 1 m 1 m 1 e n 1 e n 1 Pm 1 f f V n 1 n 1 n 1
ji n n
(iG eB fB ijG ( Gii e ij2 f GB eiij f i B f jii)e j ii ij j )( i Gii ei i )) ij ( G f B e G f B e ij j ii i j 1 ij j j 1ii i
③
雅可比矩阵为稀疏矩阵
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
n, m n m 1 1, 2, , m m 1, , n 1 n
PQ PV
Pi ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j )
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f 2 ( x1 , x2 , xn ) 0 f n ( x1 , x2 , xn ) 0
记：
F f1 , f 2 , , f n
T
X x1 , x2 , , xn
T
则方程为： F ( X ) 0
第十一章 电力系统潮流计算
n
n
2 V n G (G (2 f B e ) ( G f B e ) B e f B e ) B e G f i ii i ij ij ii j i ij ii j ii i j ii i ij j i 2 f i j 1 (Gij e j Bij f j ) Gii ei Bii f i j 1 f
j 1 ji
jn 1 n n ii i j1 1 j j 1 n
n
ji
i
第十一章 电力系统潮流计算
讨论：
① J为非奇异方阵。 ② 与Y相同的稀疏性∵表示 ③ 结构对称性，分块不对称。 ④ 修正方程求解：高斯消去法。逐行消元逐行规格化 （
1 代）。回代提及复习线性代数的相关内容。 m
⑤ 节点优化编号：静态按最少出路数排序，动态按最 少出路数排序。 ⑥ 收敛性：平直电压启动时，迭代次数与实际规模 无关，线性迭代时间仅与节点数N成正比。 ⑦ ⑧ 引入修正系数。 初值、平值电压启动。
1.
2.
几何认识
设初始点 xo , f ( xo ) 0
3.
多维非线性方程组的迭代公式
第十一章 电力系统潮流计算
1、几何认识
y
y f ( x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y (k )