27.2.2 相似三角形的性质
上大附中何小龙
一、新课导入
1.课题导入
问题1：相似三角形有什么性质？
问题2：三角形中有各种各样的几何量，除了三条边的长度、三个内角的度数外，还有高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢？
这节课我们研究相似三角形的性质(板书课题) .
2.学习目标
（1）知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
（2）知道相似三角形对应线段的比等于相似比.
（3）知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.学习重、难点
重点：相似三角形性质.
难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P37.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
②求对应中线的比. AD AB k A D A B ==''''
③求对应角平分线的比.
AD AB k A D A B ==''''
④相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
⑤相似三角形对应线段的比等于相似比.
⑥相似三角形的周长比等于相似比.
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学 （1）师助生：
①明了学情：关注学生能否理清证明思路.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比.
1.自学指导
（1）内容：教材P38.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①探索相似三角形的面积比与相似比之间的关系.
设△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′的对应
高AD,A ′D ′.
则AD= k A ′D ′，BC= k B ′C ′. ∴S △ABC=12BC ·AD=12
× k B ′C ′· k A ′D ′= k2 S △A ′B ′C ′， ∴2ABC A B C S k S ∆∆'''
= . 似三角形的面积比等于 相似比的平方 .
②教材P38例3，如图，在△ABC 和△DEF 中，
AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC 的边BC 上的高为
6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.
先证△ABC ∽△DEF ，并求得相似比.再运用相似三角形对应高的比等于相似比，求边EF 上的高；运用相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积.
③你的解答是：∵
AB AC DE DF
==2，∠A=∠D, ∴△ABC ∽△DEF,
∴边EF 上的高为3，S △DEF=14S △ABC=35. ④判断题(正确的画“√”，错误的画“×”).
a.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍.（√）
b.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（×）
⑤在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的 cm 变成了6 cm,放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？
放缩比例3∶1;面积是原来的9倍.
2.学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
① 明了学情：了解学生自学提纲中四个题目的完成情况.
②差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）点3名学生口答自学考提纲中第④、⑤题，点评.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有哪些收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生课堂的注意力，小组协作和回答问题的情况等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时的教学过程中，首先提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知识，接着老师提出问题并让学生自主探形成初步认识，最后师生共同归纳，得出结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
在上述教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主探究，体会发现和解决问题的乐趣.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的周长的比3∶5 ，面积的比为 9∶25 .
2.(10分)如果两个相似三角形面积的比为1∶9 ，那么它们的对应高的比为1∶3 .
3.(10分)两个相似三角形对应边上的中线长分别是6 cm和
18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm2，则较小
三角形的周长为 14 cm，面积为4
3
cm2.
4.(10分)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则
AD AB =
2
2
.
5.(10分)△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm，则△ABC的周
长为（C）
A.60 cm
B.45 cm
C.30
cm D.15
2
cm
6.(20分)如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD,BE是△ABC的高，A′D′,B′
E′是△A′B′C′的高，求证:AD BE
A D
B E
=
''''
.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴AD AB
A D A B
=
''''
,
BE AB
B E A B
=
''''
,∴
AD BE
A D
B E
=
''''
.
二、综合应用（20分）
7.(20分)如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120
mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
QP落在BC边上，另两个顶点E，F分别在AC，AB边上，求这个正方形零件的边长.
解：设高AD与EF交于N点，正方形零件边长为x mm.
∵EF∥BC,
∴△AFE∽△ABC.
∴
80
12080
,
EF AN x x CB AD
-
==
即.
解得x=48.
∴正方形零件的边长为48 mm.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC,交AC于点E.记x 秒时DE的长度为y,写出y关于x的解析式，并画出它的图象.
解：经过x秒后，BD=2x,AD=8-2x. ∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴AD DE AB BC
=,
即82
89
x y
-
=,即y=-
9
4
x+9(0≤x≤4).
【素材积累】
1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
几千年前的三星堆、金沙，是古蜀人智慧的结晶，难以忘怀的文明，静静地诉说着古人们的智慧……刘备，孟昶等，多少为成都制造机会，创造美丽的人啊！武侯祠中诸葛亮摘悄悄的感叹成都的美……杜甫草堂，有多少千古名句，虽然简陋却给了杜甫一个温暖的港湾。
2、早上，晴空万里，云雾满天。
太阳公公把一切都搞得有一层薄薄的金黄色。
一群小鸟，摘老松树的枝头上欢蹦乱跳，叽叽喳喳地唱歌，这些小淘气们一跳上去，那些晶莹的小露珠旧滴一声，跳到了地上，继续进行它们的旅行。
空气摘早上也是非常的清新，你深深地吸一口气，仿佛可以把自己所有的心烦事都忘得一干二净，这旧是我家乡的早晨。