第14章主成分分析
1 概述
1.1 基本概念
1.1.1 定义
主成分分析是根据原始变量之间的相互关系，寻找一组由原变量组成、而彼此不相关的综合变量，从而浓缩原始数据信息、简化数据结构、压缩数据规模的一种统计方法。
1.1.2 举例
为什么叫主成分，下面通过一个例子来说明。
假定有N 个儿童的两个指标x1与x2，如身高和体重。
x1与x2有显著的相关性。
当N较大时，N观测量在平面上形成椭圆形的散点分布图，每一个坐标点即为个体x1与x2的取值，如果把通过该椭圆形的长轴取作新坐标轴的横轴Z1，在此轴的原点取一条垂直于Z1的直线定为新坐标轴的Z2，于是这N个点在新坐标轴上的坐标位置发生了改变；同时这N个点的性质也发生了改变，他们之间的关系不再是相关的。
很明显，在新坐标上Z1与N个点分布的长轴一致，反映了N个观测量个体间离差的大部分信息，若Z1反映了原始数据信息的80%，则Z2只反映总信息的20%。
这样新指标Z1称为原指标的第
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一主成分，Z2称为原指标的第二主成分。
所以如果要研究N个对象的变异，可以只考虑Z1这一个指标代替原来的两个指标（x1与x2），这种做法符合PCA提出的基本要求，即减少指标的个数，又不损失或少损失原来指标提供的信息。
1.1.3 函数公式
通过数学的方法可以求出Z1和Z2与x1与x2之间的关系。
Z1=l11x1+ l12x2
Z2=l21x1+ l22x2
即新指标Z1和Z2是原指标x1与x2的线性函数。
在统计学上称为第一主成分和第二主成分。
若原变量有3个，且彼此相关，则N个对象在3维空间成椭圆球分布，见图14-1。
通过旋转和改变原点（坐标0点），就可以得到第一主成分、第二主成分和第三主成分。
如果第二主成分和第三主成分与第一主成高度相关，或者说第二主成分和第三主成分相对于第一主成分来说变异很小，即N个对象在新坐标的三维空间分布成一长杆状时，则只需用一个综合指标便能反映原始数据中3个变量的基本特征。
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1.2 PCA满足条件
1.2.1 一般条件
一般来说，N个对象观察p个指标，可以得到N*p个数据（矩阵）。
只要p个指标之间存在有相关关系，就可以通过数学的方法找到一组新的指标，它们需要满足的条件如下。
（1）Z i是原指标的线性函数，且它们相互垂直；
（2）各个Z i互不相关；
（3）各个Z i加起来提供原指标所含的全部的信息，且Z1提供信息最多，Z2次之，依次类推。
1.2.2 PCA的一般步骤
（1）输入或打开数据文件；
（2）数据进行标准化处理；
（3）计算矩阵的相关系数；
（4）求相关矩阵的特征根λ1、λ2、λ3，并将它们按大小排序。
（5）求特征向量和各主成分；
（6）计算各主成分的贡献率；
（7）解释各主成分的含义
上述的步骤大部分由SPSS执行，用户需要选择观测对象、选择变量，收集数据，将数据输入SPSS程序，最后选择需要多少个主成分，解释各主成分的实际意义。
1.3 SPSS运行主要选择项
1.3.1 操作步骤
Analyzes/data reduction/factor/open factor analyzes/对话框，主要有5个对话框，下面简要介绍。
因子分析主对话框。
主要用来选择变量、选择输出结果内容和多少、选择PCA有关
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数学处理如是否旋转，提取多少个因子数，是否保存各个因子得分等。
●Factor Analysis：因子分析；
●Descriptive：描述性统计选项；
●Extraction：提取因子选项；
●Rotation：旋转选择；
●Scores：因子得分选项；
●Option：其它选项。
1.3.2 主对话框
1.3.3 Descriptive对话框
●Statistics：统计数据
◆Univariate descriptive：单变量描述性统计；
◆Initial solution：初始解的统计量。
●Correlation matrix：相关矩阵
◆Coeffcients：相关系数矩阵。
◆Inverse：相关系数矩阵逆矩阵。
◆Significance levels：相关系数显著性水平。
◆Reproduced：再生相关矩阵。
给出因子分析后的相关矩阵。
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1.3.4 Extraction method 提取公因子方法
●Method：方法
◆Principal components analyze：主成分分析
◆Unweight least squares：未加权最小二乘法
◆Generalized least squares：广义最小二乘法●Analysis：分析
◆Coeffcients matrix：相关系数矩阵。
◆Covariance matrix：协方差矩阵。
●Display：显示
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◆Unrotated factor solution：非旋转因子解。
◆Screen plot of the eigenvalues：特征值碎石图。
●Extract：提取。
◆Eigenvalues over 1：系统默认值是1，表示提取特征值大于1的因子。
◆Number of factor 2：提取公因子的个数。
理论上有多少个因子
1.3.5 Rotation method 旋转方法对话框
●Method：方法
◆None：不进行旋转
◆Quartimax：四分位最大正交旋转
◆Varimax：方差最大正交旋转。
◆Equamax：相等最大正交旋转。
●Display：显示
◆Rotation solution：旋转解。
◆Loading plots：旋转因子空间的载荷图。
1.3.6 Scores 因子得分对话框
●Save as variables：将因子得分数据存入为新变量。
◆Regression：用回归法计算因子得分。
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◆Bartlett：巴特尼特法计算因子得分。
◆Anderso-rubin，Anderso-rubin：法计算因子得分。
●Dispaly factor score coefficient matrx，显示因子得分系数矩阵。
1.3.7 Option对话框
●Missing Values：缺失值处理
●Exclude cases list wise：删除全部缺省值的个案。
●Exclude cases pair wise：成对删除含有缺省值的个案。
●Replace with mean：用均值替代缺省值。
●Coefficient display format 因子得分系数矩阵的显示格式。
●Sorted by size：按大小排列。
●回到主对话框上。
Variables：选择左边变量栏中的变量，用箭头键将要分析的变
量移入右边的变量栏。
准备分析。
例如移入身高、体重。
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Selection Variable：选择变量窗口。
在该窗口输入变量名（case），则因子分析只对有关case对应的变量进行分析。
单击右边Value窗口打开Set Value对话框。
输入数值作为指定值。
单击continue，返回主对话框。
见下图
365。