例题2.一个车间为了规定工时定额，需要确定 加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验， 测得数据如下：
零件数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（x）个
加工时 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 间y
(1)y与x是否具有线性相关？ (2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程 (3)预测加工200个零件需花费多少时间？
1400
12列1
600
400
200
0
0
10
20
30
40
50
60
从散点图看出，这些点在一条直线附近，可以 用线性回归方程刻画它们之间的关系.
列表 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∑
xi
yi
xi2
xiyi
0
542
0
0
5
603
25
3015
10
672
100 6720
15
画散点图 列表
求回归方程
数学《必修３》——统计 1. 画出散点图. 2. 求出b,a的值. 3. 求回归直线方程. 4. 用线性回归方程解决应用问题.
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定 是22.6287cm吗？
4、线性回归模型
yabx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注：随机误差 产生的主要原因：
(1)所用的确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差。
对于线性回归模型 yabx
应注意以下两个问题：
I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
例1.下表给出我国从1949至1999年人口数 据资料，试根据表中数据估计我国2004年 的人口数。
年份 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
函数关系 1、两个变量的关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系. 相关关系是一种非确定性关系.
函数关系是一种理想的关系模型. 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般
时刻 x/s
1
2
3
4
5
6
7
8
位置观
测值 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06 y/cm
（2） 列表
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
1
5.54
1
5.54
2
2
7.52
4 15.04
3
3 10.02 9 30.06
4
4 11.73 16 46.92
5
5 15.69 25 78.45
yi
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
1220 0
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？
人口数 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 /百万
分析：先画图
年份 0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
人口数/ 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 百万
解：作出散点图
的情况.
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢？
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(Xi X )2
i 1
aˆYbˆX
例如：对一作直线运动的质点的运动过程作了 8次观测，得到下表，试估计当x=9s时质点 的位置y的值。
705
225
20
807
400
25
909
625
30
975
900
35
1035 1225
40
1107 1600
45
1177 2025
50
1246 2500
根据公式得：
• b=14.453 • a=527.591 • 线性回归方程为： • y=527.591+14.453x
• 当x=55 时，y=1322.506(百万)
选修1-2
（一）
回顾：必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
样
分布
字特征
析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？ 不相关
6
6 16.12 36 96.72
7
7 16.98 49 118.9
8
8 21.06 64 168.5
∑
36 104.66 204 560.1
其 x 中 x i 4 ： .5 0 y y i 1.0 38
n
n
（3）求线性回归方程:
y=3.5361+2.1214x
3、 回归分析的基本步骤:
分析：这是一个回归分析问题，应先进行 线性相关检验或作散点图来判断x与y是否 具有线性相关才可以求解后面的问题。
作散点图如下：不难看出x,y成线性相关。
150
100
系列1 50
0
0
50
100 150
解（1）列出下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10 20 30 40 50 60 70 80
90 100
即建立的线性回归模型是否合理？
如何对一组数据之间的线性相关程 度作出定量分析？
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别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店 老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。 饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱 们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么 难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老 板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵 的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上， 一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听 得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听 的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送 你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一 起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安 全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿 兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计 也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们 的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那 位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还 有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服， 佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人 啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直