微积分基本定理
北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘
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从此将达
微积分基本定理
• 定积分计算：
– 按定义计算 – 微积分基本定理
注
•
定积分
b
a
f
( x)dx 与积分变量所选取的字母无
关,即
b
a
a f (x)dx b f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
f ( )x
o
[ x, x x],
a
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
微积分基本定理－积分形式
定理 2（牛顿—莱布尼茨公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
n 1
x b b
b
1dx
0dx
a
a
a
b
a
x
dx

1 2
(b2

a
2)
x b a b 2dx 1 ( 3 3)
a
3
Table of Definite Integrals
微积分基本定理应用 例1

计算
2 sin x dx 0
微积分基本定理应用 例1

计算 2 sin x dx 0
变上限定积分
积分上限函数
x
( x) a f (t)dt.
同理，可定义变下限定积分
b
(x) x f (t)dt
积分下限函数
只需考虑变上限积分
x
( x) a f (t)dt.
因为
b
(x) x f (t)dt
b
x
a f (t)dt a f (t)dt
变限定积分的性质－连续性
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y

1
1 x2
微积分基本定理应用 例3


2 sin x dx cos x 2
0
0
(cos cos 0)
2
cos cos 0 0 1 1
2
微积分基本定理应用 例1

2 sin x dx 1 0
微积分基本定理应用 例2
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
sin x dx cosx C csc2 x dx cot x C
cosx dx sin x C sec x tan x dx sec x C
sec2 x dx tan x C cscx cot x dx cscx C
Table of Indefinite Integrals
注意
当a

b时， b a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a ) 仍成立.
从不定积分到定积分
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
ex dx ex C

1 x
dx

ln
x

C
ax dx ax C ln a
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,

(a)

a
a
f
(t )dt

0

F(a) C,

F ( x)
x
a
f
(t )dt

C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
[a,b]上可积函数 f(x) 的变限定积分
Φ(x), ψ(x) 是[a,b]上的连续函数.
变限定积分的性质－可导性
微积分基本定理（微分形式）
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)

x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是(
x)

d dx
变上限定积分
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)

x
a
f
(t )dt .
x
a
f (t )dt
f (x)
y
证
( x

x)

xx
a
f
(t )dt
(a x b)
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
注
• 微积分基本定理表明： • 如果 f 连续，则它的变上限积分是它的一个
原函数。
x
f (x)dx a f 果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)

x
a
f
(t )dt
就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
kdx kx C
1
x2
dx 1

tan1
x

C
1 dx sin1 x C 1 x2
Example：Definite Integrals
x x ndx 1 n1 C (n 1) n 1
x b a b ndx 1 ( n1 n1)
a
令x b

b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx

F(b)
F (a)

F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.