3
3 : z 0,4 : x y x z 1
4
1
y
于是 Ò xyzdS xyzdS
1 2 3 4
由于在 1 : x 0, 2 : y 0,3 : z 0上,
f ( x, y, z) xyz 0
所以
xyzdS 0
1 2 3 1
x
z 1
2 1
O Dxy
3
4
1
y
在4上：z 1 x y,
）
r2 n (zx
,
zy
d
,1),
Q cos
1
, dS
1
z
2 x
z
2 y
1
z
2 x
z
2 y
d
的面积元素：
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分 向xoy面投影Dxy
f ( x, y, z)dS : z z(x, y)
z z(x, y)
(x, y, z)在上变化
f ( x, y, z) dS : x x( y, z)
f x y, z , y, z
1
x
2 y
xz2 d
D yz
f ( x, y, z) dS
: y y(x, z)
f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2 d
Dxz
例1 计算 1 dS，其中：x2 y2 z2 a2
且在第一卦限的部分.
解 由于 不能表示成 z=z(x,y) 的形式,
现写成 x R2 y2
z
这样就需投影到yoz面上， H
投影区域 D yz 为矩形:
0 y R,0 z H
D yz
O
x
Ry
又 xy
y R2 y2 , xz 0
有
dS
1
x
2 y
xz2 d
: x R2 y2
R dydz
R2 y2
于是
dS
1
x2 y2 z2 Dyz R2 z2
R dydz
R2 y2
RR
H1
0
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan z
R
R
H 0
dy
HR 1
arctan
dy
R 0 R2 y2
HR 1
arctan
dy
R 0 R2 y2
当几何形体G为一光滑曲面 时,相应 的积分
G f (P)dg f ( x, y, z)dS
积分Байду номын сангаас面
曲面面积元素
就是函数 f ( x, y, z)在曲面上的 对面积的曲面积分(或第一类曲面积分)
若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 Ò f (x, y, z)dS
曲面的面积元素
设有界闭曲面 : z z( x, y)，( x, y) Dxy ,
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
2.若 : x x y, z
f x, y, zdS f x y, z , y, z
1
x
2 y
xz2
d
Dyz
3.若 : y y x, z
f x, y, zds f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2 d
Dxz
的面积元素：
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
曲面 的面积公式为：
S dS 1 zx2 zy2d
Dxy
例 计算Ò xyzdS,其中是三个坐标面和
平面x y z 1围成的四面体的整个
边界曲面. z
解 边界曲面 由四块组成：1
1 2 3 4
它们的表达式分别是
2 1
O Dxy
1 : x 0,2 : y 0, 1
若 : z z x, y
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
f ( x, y, z)dS
向xoy面投影Dxy 代入z z x, y
f x, y, z dS f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
1.若 : z z x, y
f x, y, z dS f x, y, z x, y
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
xyzdS xyzdS xy1 x y 3d
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
曲面积分元素为 : z z( x, y)
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y )d
对面积的曲面积分的计算公式为
f ( x, y, z)dS
f x, y, z( x, y)
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
如果曲面 的方程由
x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出，也可类似地把对面积的曲面积分化 为yoz面或xoz面上的二重积分。
（平面有限曲线段） (空间有限曲线段)
对面积的曲面积分
（有限曲面片）
几何形体上的积分 f (P)dg G 重积分
f (x, y)d; f (x, y, z)dv
D
对弧长的（第一类）曲线积分
L f ( x, y)ds; f ( x, y, z)ds
对面积的（第一类）曲面积分
f ( x, y, z)dS
Dxy为在xoy面上投影区域， z
z( x, y)在Dxy上偏导数连续. S M
在上任取小曲面块S, o
Dxy
y
(x, y)
对应的投影区域为d , x
d
M( x, y, z( x, y))为S上任一点,
T为 S上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
3.5 对面积的曲面积分
你要认识 对面积的曲线积分
f ( x , y )ds f ( x, y, z)ds
L
学会计算对面积的曲线积分
3.5 对面积的曲面积分
问题： 有一曲面( )形的非均匀构件，
设其面密度是 f (x,y,z)，如何求它的质量？
密度函数对曲面的面积求积分 这种积分就称为对面积的曲面积分
4
Dxy
Dxy : 0 y 1 x,
3
1
xdx
1x y1 x ydy
0
0
0 x1
3
1 0
x
1
x
y2 2
y3 1 x
3
0
dx
1 1 x3
3
3 0 x
6
dx 120
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
二重积分
D
三重积分
闭区间 [a,b]
(平面有界闭区域) (空间有界闭区域)
L 对弧长的曲线积分
小柱面截曲面 为 S；截切平面 T为 dS，
(S与 dS 在 xoy 面上的投影均为d )
当 d 的面积很小时，则有
S dS.
z
dS
M
z z(x, y)
S
曲面块 切平面块
o
T
x
(x, y)y
d
S dS
z
Q d 为 dS 在 xoy 面上的投影, nr dS
d dS cos , (0
切平(曲)面的法向量
z
被平面 z h,0 h a 截出的顶部.
z
a
h
O
a
Dxy
y
a
x
解 的方程为z a2 x2 y2 (h z a)
它在xoy面上的投影区域 Dxy : x2 y2 a2 h2
z a h
曲面面积元素
O Dxy
a
a
y
dS
x
1
z
2 x
z
2 y
d
a
d
a2 x2 y2
: z a2 x2 y2 , Dxy : x2 y2 a2 h2
的面积元素dS=
a
d
a2 x2 y2
1dS
1
a
d
z
Dxy a2 x2 y2 a2 x2 y2
Dxy
a2
a x2
y2 dxdy
D
a2
a
2 d d
a
2
d
0
0
a2 h2
a2
2
d
2 a ln a
h
例2
计算
x2
dS y2
z2
，其中为圆柱面
x2 y2 R2 介于平面 z =0 和 z =H(H>0)
arctan
H R
[arcsin
y R
]0R
arctan H
2
R
瑕积分