2013—2014学年九年级数学（上）周末辅导资料（10）
理想文化教育培训中心 学生姓名：_______ 得分： _____
一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图,在⊙O 中，直径C D 垂直弦AB 于E 点，
则有 AE ＝_____,AD
＝________,C A
=_________。
垂径定理小结：⑴ 垂直弦；⑵平分弦；⑶平分弧;只要有一个结论成立，其他两个都成立。
例1：（1）如图（1）,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4
（2）如图（2），已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5
（3）高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．
375 D ．37
7
（4）（2013•广安）如图4，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C
，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为
（ ）
（5）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）。
⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ABC 面积的最大值.
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系：
图（2）
图3
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例2：（1）（2013•常州）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．
（2）（2013•内江）如图2，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
．cm cm cm
(3) （2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
．
图1 图2 图3 图4
（4）（2013•苏州）如图4，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
三、圆周角定理
圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形．
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。
例3：（1）如图（1），在⊙O中，∠AOB＝102°，则∠APB＝。
（2）如图（2），在⊙O中，∠AOB＝100°，则∠ACB＝。
（3）（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）
A、3；
B、4；
C、4；
D、 5
（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于_______。
（5）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B（即∠ABC=90°），∠ABC的平分线BD交⊙O 于点D，AD的延长线交BC于点C．
（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．
四、巩固练习：
1、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
2、（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）
3、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．
图I 图2 图3
4、如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长。
5、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结
AD 、BD ．
（1）求证：∠ADB =∠E ；（2）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．
6、（2013•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ． （1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC=2，求⊙O 的半径r ；
（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数．
7、（2013•温州）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．
（1）求证：∠B=∠D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．
E
C A。