常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
0)( t t Ae
t f t
，其中，A 和a 为常数。

s A t e A t e Ae Ae
L t s st
t t
)(0
d d ][ 2、阶跃函数
0)(
t t A
t f ，其中，A 为常数。

s
A t Ae A L st
d ][ 3、单位阶跃函数
001
0)(
t t t u
s t e t u L st
1d )]([0
4、斜坡函数
00
)(
t t At
t f ，其中，A 为常数。

d d ][t s
Ae s
e
At
t Ate At L st
st st
2
d s
A t e
s
A st
A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
0)(
t t t
t f
d d ][t s
e s
e t
t te t L st
st st
2
01d 1s t e s st
6、正弦函数
sin 0)(
t t t
A t f ，其中A 为常数。

)
(t f 图2.3正余弦函数
)
(a )
(b )
根据欧拉公式： 拉式变换为：
2
2
01212d )(2]sin [ s A j s j A j s j A t
e e e j A t A L st
t j t j
同理余弦函数的拉式变换为：2
2]cos [ s As
t A L
7、脉动函数
t
t t t t t A t f 000
,000
)(，其中，A 和t 0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始
的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。

)()()(000
t t u t A
t u t A t f
)1()()()]([00000000st st e s
t A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L
)(21
sin t j t j e e j
t
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

t
t t A t g
,000
lim )(0
A s As
s e A e s A t g L s s
d d )
1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
1
d )(0)(-0000
t t t t t t t t t
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。

但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。

脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数)(0t t 可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即
)(d d
)(00t t u t
t t
相反，如若对单位脉冲函数)(0t t 积分：
)(d )(0
t t u t t t t
t
积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。

10、加速度函数
00
)(2
t t At t f ，其中，A 为常数。

拉氏变化为：
3
00
20
2212d 2d ][s A
t te e t s
A t e At At L st st
st
当A=
2
1
时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a ，图像如下：
)t 0
t 图单位加速度函数
(a)
(b)
8642
1234
11、单位加速度函数：
2
10)(2
t t t t a 3
20
221d 211d 2
1)(21s
t te
e t s t e t t u t L st
st st。