例题一某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR= 2.34×103kN•m µS= 1.16×103kN•m方差σR= 0.281×103kN•m σS= 0.255×103kN•m现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。

解: 将已知数据代入β= R S√σR2+σS2=33√(0.281×103)2+(0.255×103)2=3.109查标准正态分布表Ф(3.109)=0.99905，P f=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(3.109)=1-0.99905=0.00095。

例题二某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为均值µR= 2.34×103kN•m µS= 1.16×103kN•m方差σR= 0.281×103kN•m σS= 0.255×103kN•m现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标β和对应的失效概率P f。

解：β≈R S√δR+δSδR=σRµR =0.2812.34=0.12δS=σSµS =0.2551.16=0.22β≈R S√δR+δS =β≈33√0.122+0.222=2.80P f=Ф(-β)=1-Ф(β)=1-Ф(2.80)=1-0.99740=0.0026。

例一和例二表明：随即变量分布类型，对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。

分析结果表明：P f≥10−3(β≤3.09)时，F z(z)的分布类型对P f 的影响不敏感，即Z假设什么样的分布,计算出的P f都在同一数量级上，其精度足够了。

P f大时，Z可以不考虑其实际分布形式，采用合理又方便的分布形式来计算P f。

这样计算简便，得到工程上接受的结果。

但P f＜10−5(β＞4.26)时F z(z)的分布类型对P f的影响十分敏感，计算P f时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。

例题三若钢梁承受的确定性弯矩M=210 kN•m，钢梁的抵抗矩W 和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，µW= 692cm3，δW=0.02屈服强度f：正态分布，µf=390MPa ，δf=0.07用中心点法和验算点法计算该钢梁的可靠指标β及f和W的验算点之值f﹡和W﹡。

解：1 中心点法(1)采用抗力作为功能函数Z=fW-M= fW-210 kN•mµZ =µf µW -µM =µf µW -210=59.88 kN •m σZ =√(µf σW )2+(µW σf )2=√µf 2µW 2(δW 2+δf 2) =√(390×692000)2(0.022+0.072) =19.65×106 N •mm β=µZ σZ =3.047(2) 采用应力作为功能函数Z=f-MWµZ ≈µf -MµW=86.5MPaσZ =√(σf )2+(M µW2σW )2=√(µf δf )2+(M µWδW )2=√(390×0.07)2+(210×106692×103×0.02)2=27.97MPa β=µZ σZ =3.0932 验算点法 验算点法计算步骤:(1) 列出极限状态方程g(X 1，X 2，…，X n )=0,并给出所有基本变量X i 的分布类型和统计参数µxi 和σxi ；(2) 假定X i ﹡和β的初始值，一般取X i ﹡的初始值为X i 的均值µxi ，相当于β初始值为0；(3)求极限状态方程对各基本变量X i 的偏导数，并用X i ﹡的值代入，得到方向余弦 cos θXi =-∂g ∂xi ∣p ﹡•σ√∑(∂g∂xi ∣p﹡•σxi )2n1(4)按公式g(µXi +βσX i cos θX i^)=0 求解β；(5)计算新的X i ﹡值 X i ﹡=µXi +βσX i cos θX i^重复第3步到第5步计算，直到前后两次计算的β在容许误差范围内(0.001)。

按抗力列功能函数极限状态方程 Z=g(f,W)= fW-210×106(N •mm) σf =µf δf =390×0.07=27.30MPa σw =µw δw =692×0.02=13.84MPa由 g(X 1﹡，X 2﹡，…，X n ﹡)=0 (P ﹡验算点处坐标) X i ﹡=µi +X i ^﹡×σX i =µi +βσX i cos θX i^−∂g ∂f ∣p ﹡σf =-W ﹡×27.30，−∂g ∂w∣p ﹡σw =-f ﹡×13.84，cos θf =-∂g∂f ∣p ﹡•σ√(∂g ∂f ∣p﹡•σf )2+(∂g ∂w ∣p ﹡•σw )2=﹡√(27.3W ﹡)2+(13.84f ﹡)2 (a)cos θw =-∂g ∂w ∣p ﹡•σ√(∂g ∂f ∣p﹡•σf )2+(∂g ∂w ∣p ﹡•σw )2=﹡√(27.3W ﹡)2+(13.84f ﹡)2 (b)f ﹡=µf +βσf cos θf =390+27.3βcos θf (c) W ﹡=µw +βσw cos θw =692+13.84βcos θw (d)由 Z=g(f﹡, W﹡)= f﹡•W﹡-210000(N•m) 将(c) ，(d)代入简化后得：β2cosθf cosθw+β(50cosθf+ 14.29cosθw)+158.4=0 (e) 现用迭代法求解β第一次迭代：①取f﹡=µf=390(MPa)，W﹡=µw=692(cm3)②求cosθf，cosθwcosθf=﹡√(27.3W﹡)2+(−13.84f﹡)2=√(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.9615cosθw=﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=√(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.2747验算cos2θf+cos2θw=1③ cosθf，cosθw代入 (e)得0.2642β2-51.97β+158.4=0解得β=3.095第二次迭代：①f﹡=µf+βσf cosθf=390+27.3×3.095×(-0.9615)=309W﹡=µw+βσw cosθw=692+13.84×3.095×(-0.2747)=680 ②cosθf=﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=√(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.9745cosθw=﹡√(27.3W﹡)2+(13.84f﹡)2=√(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.2245验算cos2θf+cos2θw=1③代入(e)得2188β2+51.9β+158.4=0解得β=3.092，与第一次β相差0.003＜0.01。

第三次迭代：①f﹡=308(MPa)，W﹡=682(cm3)② cosθf=-09748，cosθw=-0.2232③β=3.092 与第二次迭代相同，其实第二次结果已满足工程精度。

④故求得β=3.092，f﹡=308(MPa)，W﹡=682(cm3)查表得失效概率P f=1-Ф(3.092)=1-0.9993=0.0007。

讨论：(1) 中心点法由于采用不同的功能函数计算结果不一致,但两种功能函数是完全等价的；(3)极限状态方程是非线性的例题四承受恒载作用的薄壁型钢梁，极限状态方程为Z=g(f，W，M)=fW-M=0，其中f﹑W、M都按随机变量考虑,已知他们的分布类型和统计参数：弯矩M：正态分布，µM=13kN•m，σM=0.91 kN•m；抵抗矩W：正态分布，µW=54.72cm3，σw=2.74 cm3；钢材强度f ：正态分布，µf=380MPa，σf=30.4 MPa。

试求该梁的可靠指标β及相应的失效概率P f。

解：三个正态变量的非线性方程。

−∂g∂f ∣p﹡σf=30.4W﹡MPa−∂g∂w ∣p﹡σw=-2.74f﹡cm3−∂g∂M ∣p﹡σM=910(kN•mm)cosθf=﹡√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102cosθW=﹡√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102cosθM=√(30.4W﹡)2+(2.74f﹡)2+9102f﹡=µf+βσf cosθf=380+30.4cosθf (MPa)W﹡=µw+βσw cosθw=54.72+2.74βcosθw (cm3) M﹡=µM+βσM cosθM=13000+910βcosθM (kN•mm) 代入极限状态方程：f﹡ W﹡− M﹡=0化简后得83.3β2cosθf cosθw+β(1041 cosθw+1664 cosθf-910cosθM)+7793.6=0假定 f﹡、 W﹡的初值为 f﹡=380， W﹡=54.72 求得30.81β2-2163.3β+7793.6=0解得β=3.81f﹡=290.9 W﹡=49.69 M﹡=14459重复第二次迭代：f﹡=290.9 W﹡=49.69 M﹡=14459cosθf=-0.781 cosθw=-0.412 cosθM=0.470226.81β2-2156β+7793.6=0解得β=3.79第三次迭代：f﹡=289.2 W﹡=50.44 M﹡=14622解得β=3.80 (可认为已收敛)失效概率P f=1-Ф(3.80)=7.235×10−5。

比较中心点法计算结果差异：µZ=µfµW-µM=380×54.72-13000=7793.6 (kN•mm)σz=√(µwσf)2+(µfσw)2+σM2=√(54.72×30.4)2+(380×2.74)2+9102=2163.2β=µZσz =7793.62163.2=3.60， P f=1-Ф(3.60)=1.591×10−5。