初中数学专题复习 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。
事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。
根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。
于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根.当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称，∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）.（3）由②知，当1x =时，120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立， ∴320y y -≥，图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥. 只有013=-a ，解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式，比较简单。
值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠解得1m ≠±当54m <且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ （3）抛物线的对称轴是58x =由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， (关于对称轴对称的点的性质要掌握)14x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+，得14k b -+=-，114b k =-114y kx k =+-28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+=有且只有一个交点，21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+=解得6k =162y x =+综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-，162y x =+【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。
但是仔细看题，发现P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。
而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b 。
第二问依然是判别式问题，比较简单。
第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。
考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是1122b x a-+==-+，2122b x a-==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k > 又k 是正整数，所以k 得最小值为2．【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若25a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得0a ≠， ∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)- （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x ==±∵0a >，∴2x =±是整数． ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >， ∴25a<． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2a取1，4， 当21a =时，2a =； 当24a =时，12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．【例5】已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。
第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：（1）()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根, ∴0m ≠ ∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.（2）证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m ----±==--.∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---， (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫-⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-， （3）∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时，抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ()223168y x x x =--=-+【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。