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. 混沌 (Chaos)
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非线性控制理论【204320】第一讲：概论
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§1.4.1 多平衡点 (1)
非线性系统通常有多个平衡点：系统可以停在一处，永远不动的一 个点。 例 1.2 考察一阶系统 ˙ = −x + x2 x (4) 其初值 x(0) = x0 . 它的线性化近似为 ˙ = −x x (5)
x(t) x(t)
x(0) < 1 x(0) > 1
1
1
o
t
o
t
Figure: (a) 线性系统响应
Figure: (b) 非线性系统响应
线性系统 只有唯一的平衡点 x = 0，是稳定的；非线性系统 具有两个平 衡点 x = 0 和 x = 1，系统的稳定性依赖于初值。
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该线性系统的解为 x(t) = x0 e−t 。与此相反，对等式 dx/(−x + x2 ) = dt 积分，可得 (4) 的实际响应为 x(t) = x0 e−t 1 − x0 + x0 e−t (6)
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§1.4.1 多平衡点 (2)
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常见的非线性特性 —继电器特性
继电器特性是多种非线性特性的组合。
y y = sign(x) 1 O 1 O y
x
x
−1
−1
Figure: 理想继电器特性曲线
Figure: 真实继电器特性曲线
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Hale Waihona Puke 1.2.2 线性时不变系统性态徐维超 (自动化学院)
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教材及基础
教材名称：《应用非线性控制》(Applied Nonlinear Control) 作者：J. E. Slotine & Weiping Li 预备课程一： 《自动控制原理》 预备课程二： 《现代控制理论》 预备课程三： 《高等数学》 （常微分方程） 预备课程四： 《线性代数》 计算机语言：Matlab、Simulink 作者简介: Jean-Jacques E. Slotine，于麻省理工学院获得博士学位。现 任麻省理工学院机械工程系及信息科学系教授，非线性系统实验室主 任。他的主要研究方向包括机器人学、非线性控制、学习系统等。
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§1.2.1 非线性特性
非线性特性可分为本质的和刻意的（人为的）两种。 本质的 —系统的装置及其运动产生（向心力、干摩擦阻尼） 具有不良效应，控制器中对其补偿 刻意的 —设计者人为引进，例如 -非线性控制规律 -自适应控制规律 -开关式最优控制律 非线性特性根据数学性质可分为连续的和不连续的。 不连续非线性特性又称为硬非线性特性 无法通过泰勒展开线性化 控制系统中常见的有间隙、时滞、静摩擦等
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§1.4.2 极限环 (1)
在没有外部激励的情况下非线性系统可以表现为固定幅值及固定周 期的简谐振动，称为极限环或自激振荡，可由下列谐振子动态模型描 述。 例 1.3 范德波尔方程 (Van Der Pol Equation) 是二阶非线性方程 ˙ + kx = 0 m¨ x + 2c(x2 − 1)x (7)
其中，v 是车速，u 是控制输入（推力） 。非线性项 v|v| 对应典型的平方 律牵引。分别用脉宽均为 5 秒，但幅度分别为 1 和 10 的方脉冲作为输 入，考察系统的响应。
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§1.3.2 非线性系统性态例一：仿真
用 Simulink 建模信号方框图如下：
−ε O
ε
Input
2ε
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常见的非线性特性 —滞环
滞环非线性特性是另外一种多值非线性特性，常见于铁磁材料的磁化曲 线。
B
Bm Bc
−Hm
−Hc O Hc Hm
H
−Bc −Bm
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§1.0 非线性控制的主题
对非线性控制系统进行分析和设计 非线性控制系统 —包含至少一个非线性分量 分析部分 —研究已经设计好的非线性闭环系统的特性 设计部分 —根据特定的指标需求，设计非线性控制器 实际中分析与设计不是截然分开的，而是交替进行
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广东工业大学自动化学院 wcxu@
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自我介绍
姓名：徐维超 职务：教授 中国科学技术大学电子工程与信息科学系：工学学士 中国科学技术大学电子工程与信息科学系：工学硕士 香港大学电机电子工程系：哲学博士 办公室：工学 2 号馆 427-1 室 (13:00-23:00) 联系方式：电话13560400918；电邮wcxu@
Figure: 水下车辆运动 Simulink 建模
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§1.3.3 非线性系统性态例一：结果
用 Simulink 仿真结果：
1 Speed 0 5 10 Time 15 20 Thrust 1
0.5
0.5
0
0
0
5
10 Time
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§1.2 非线性系统的性态
物理系统本质上就是非线性的 一切控制系统都是一定程度上的非线性系统。 非线性控制系统用非线性常微分方程描述 但是, 如果 (1) 控制系统运行区域小 (2) 与之相关的非线性特性光滑 线性系统（线性常微分方程组）合理近似
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§1.1.2 目的（二）
⋆ 硬非线性特性分析 线性控制另一个假设：系统的模型可以被线性化 控制系统中有许多非线性因素 不连续性不具有线性近似—” 硬非线性近似” 干摩擦、饱和、死区、间隙、时滞 大量存在于控制工程中，其效应不能用线性方法获得 ⇒ 必须发展非线性分析技术来预测系统动态 引起控制系统不期望的性态 —不稳定性、拟似极限环等 这些效应必须预测出来，并且恰当补偿
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其他参考资料
Alberto Isidori—Nonlinear Control Systems Hassan K. Khalil–Nonlinear Systems Shankar Sastry—Nonlinear Systems 廖晓昕 —《稳定性的理论、方法和应用》 胡跃明 —《非线性控制系统理论与应用》 以课件为主，考试范围完全出自课堂内容。
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§1.1.3 目的（三）
⋆ 处理模型的不确定性 线性控制器设计中，通常假设系统模型参数已知 许多控制问题中，模型参数具不确定 由于参数慢时变（飞机飞行中周围空气压力变化） 参数突然变化（机器人抓起物体是惯性参数突变） 大量存在于控制工程中，其效应不能用线性方法获得 不准确、过时模型参数 ⇒ 线性控制器性能严重恶化，甚至不稳定 有意导入非线性因素至控制器部分，降低不确定性 鲁棒控制器、自适应控制器
−a O a Input
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常见的非线性特性 —死区
死区非线性特性: 很多物理装置，在输入的大小达到某个特定值之 前，它们的输出为 0。
Output
对控制系统性能影响： 降低静态输出准确性 导致极限环、不稳定 镇定一个系统 抑制自振
§1.4 常见非线性系统性态
下面我们揭示非线性系统的一些共同性质，以熟悉非线新系统的复 杂性态，并为课程后续部分提供坚实基础。 常见的非线性系统的性态包括： . 多平衡点 (Multiple Equilibrium Points) 1 . 极限环 (Limit Cycles) . 分歧 (Bifurcations) 3
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常见的非线性特性 —饱和
饱和非线性特性: 当输入信号超出其线性范围后, 输出信号不再随输 入信号变化而保持恒定。例如：晶体管放大器、磁力放大器等。产生原 因：组件的尺寸、材料性质、功率限制。
Output
对控制系统性能影响： 输入信号增加，减小装置增益 不稳定系统 ⇒抑制发散性态 稳定系统中 ⇒减慢系统响应
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§1.1.4 目的（四）
⋆ 简化设计 好的非线性控制设计比相应的线性控制器设计更简单、直观 基于装置的物理特性 例子：垂直于平面的摆 任意初始位置开始，简谐振动，停止于垂直位置 数学上：平衡点附近线性化分析 —系统矩阵特征值 物理上：各种摩擦力使机械能耗尽，能量最小位置
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§1.1.1 目的（一）
⋆ 对现有（线性）控制系统的改进 线性控制系统本身是一种近似 关键假设：小范围工作 运行范围大，非线性分量无法有效补偿 ⇒ 性能恶化、不稳定 非线性控制器直接补偿非线性分量 运行范围很大的情况下，也能精确控制