第16讲定义新运算教学目标学会理解新定义的内容；理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；学会自己总结解题技巧。

知识梳理一、知识概念1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

典例分析例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。

求8 ★ 5 。

【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。

这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a 代表数字8，b 代表数字5。

8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a ◎b=a×b-(a+b)。

求6◎（9◎2）。

【解析】根据定义，要先算括号里面的。

这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。

因此可以按照这个规律进行解答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070例5、如果规定⊗2=1×2×3，⊗3=2×3×4，⊗4=3×4×5，…… 计算（21⊗-31⊗）×32⊗⊗。

【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为⊗X=（X-1）×X×（X+1）。

由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

（21⊗-31⊗）×32⊗⊗ = 21⊗×32⊗⊗-31⊗×32⊗⊗ =31⊗-31⊗×32⊗⊗ =31⊗（1-32⊗⊗） = 4321⨯⨯×（1-432321⨯⨯⨯⨯）=4321⨯⨯×（1-41） =4321⨯⨯×43 =321 例6、规定a▲b=5a+21ab-3b 。

求（8▲5）▲X=264中的未知数。

【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

（8▲5）▲X=264（5×8 + 21×8×5-3×5）▲X=264 45▲X=264 5×45+21×45×X-3X=264 225+245X-26X =264 225+239X=264 239X=39 X=2➢ 课堂狙击1、A ，B 表示两个数，定义A △B 表示(A+B)÷2，求(1)(3△17) △29；(2)[(1△9) △9] △6。

【解析】定义新运算符号“△”表示A △B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值。

如：3△17=(3+17)÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29)÷2=19.5(1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6=[20÷2] △29 =[5△9] △6=10△29 =[(5+9)÷2] △6=(10+29)÷2 =7△6 实战演练=39÷2 =(7+6)÷2=19.5 =6.52、A ，B 表示两个数，定义A*B=2×A-B 。

试求：(1)(8.5×6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)【解析】定义新运算符号“*”表示A*B=2×A-B ，即前面数的两倍与后面数之差；所以（1）原式=2×（8.5×6.9）-5 =17×6.9-5 =117.3-5 =112.33、已知a ，b 是任意自然数，我们规定：a ⊕b ＝ a ＋b －1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗=？【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298=⨯-=。

4、M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【解析】原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦。

5、已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。

（1）3*3=3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380（3）提示：因为1* x=1+11+111+…=123所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0即：1+11+111=1*3=123从而可知x=36、已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：（1）（4△3）+（6△2） （2）（3△2）×（4△3）【解析】观察两个已知等式可以发现，“△”定义为由前面的数开始称后面数一次加1，相乘个数为“△”之后（2）原式=90*26=2×90-26 =180-26=154（1）原式=4×5×6+6×7=120+42=162（2）原式=（3×4）×（4×5×6）=12×120=14407、设A ⊕B=2×（A+B ）-2×（A÷B ），计算：（1）（12⊕4）⊕13； （2）70⊕（18⊕4）。

【解析】观察已知等式可知：“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。

如：12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26（1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）] ⊕13=[2×16-2×3] ⊕13=26⊕13=2×（26+13）-2×（26÷13）=2×39-2×2=78-4=74（2）原式=70⊕[2×（18+4）-2×（18÷4）]=70⊕[2×22-2×4.5]=70⊕35=2×(70+35)-2×(70÷35)=2068、规定a ⊙b=(a+b) ÷(a-b)，按此规定计算:(1)21⊙15 (2)(18⊙9) ⊙2【解析】观察已知等式可以发现，“⊙”定义为两数之和与两数只差的商，即a ⊙b=(a+b) ÷(a-b)；所以有（1）原式=（21+15）÷（21-15） =36÷6=6 9、小辉用电脑设计了A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A 后面连接装置B ，就写成A·B ，输入1后，经过A·B 输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D （2）原式={（18+9）÷（18-9）}⊙2=3⊙2 =（3+2）÷（3-2） =5【解析】A·B·C·D=[(9+5)÷2-4]×3=9所以输出的是9➢ 课堂反击1、定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

6△（3△4）。

【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7。

2、P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) 【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++====。

3、如果&10a b a b =+÷,那么2&5= 。

【解析】2&5＝2＋5÷10＝2.5。

4、如果a ⊙b 表示32a b -,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x ＝ 。

【解析】根据题意x ⊙5－5⊙x ＝(3x －2×5)－(3×5－2x)＝5x －25,由5x －25＝5,解得x ＝6.5、对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，其中a 、b 表示自然数.如果(3)23660x **=，那么x 等于几？【解析】方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数。

36606061=⨯，即：60*23660=，则360x *=；60345=⨯⨯，即3*360=,所以3x =。

方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *23660=，y *2(1)36606061y y =+==⨯，所以60y =，那么也就有x *360=，60345=⨯⨯，即3*360=，所以x 3=。

6、对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b ⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。