一、知识概念
1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、♦、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算
定律的。
2、一般的解题步骤是：
一是认真审题，深刻理解新定义的内容；
二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；
三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
典例分析火
例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32
例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。
【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8, b代表数字5。
8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6
例3、如果a© b=a X b-(a+b)。
求6©( 9©2)。
【解析】根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6©(9◎2)
=6© [9 X 2- ( 9+2)]
=6© 7
=6X 7- (6+7)
=42-13=29
例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。
求 6 △ 5。
【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。
因此可以按照这个规律进行解答。
6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070
例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5,
:X= (X-1 ) X X X (X+1 )。
由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为
于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。
1 1 : 2
( - )X
：2 ：3 1 3
1 2 1 2
=____ x - ______ x
_2 ■_ 3 1 3 1 3
1 1 2
=__ -____ x
；3 ： 3 ： 3
=1(1- ：2)
：3 2 3
1 1
2 3、
= ------------- x (1
2 3 4 2 3 4
1 1、
= ------------- x (1-)
2 3 4 4
1 3
= ------------- x
2 3 4 4
_ 1
= -----
32
1
例6、规定a^b=5a+ ab-3b。
求(8^5) ▲ X=264中的未知数。
2
【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。
(8 ^5)▲ X=264
1
(5 X8 + - X8 x5-3 x) ▲ X=264
2
45 ▲ X=264
1
5 >45+ —X45 >X-3X=264
2
45 6X
225+ 一X- =264
2 2
39
225+ 一X=264
2
39 X=39
2
X=2
P(Practice-Oriented) 实战演练
实战演练
课堂狙击
1、A , B表示两个数，定义 A △ B表示(A+B)吃,
求(1)(3 △ 17) △ 29;
(2)[(1 △ 9) △ 9] △ 6。
【解析】定义新运算符号△”表示A △ B=(A+B)+ 2，即两个数做△”运算就是求这两个数的平均值。
如：3
△ 17=(3+17) 2=10，再用10 与29 做运算，10A 29=(10+29) 2=19.5
(1)原式=[(3+17) 2= △ 29(2)原式={[(1+9) 2] △ 9} △ 6
=[20 =] △ 29=[5 △ 9] △ 6
=10^ 29=[(5+9) 2] △ 6
=(10+29) 2-=7 △ 6
=39 =2=(7+6) 2-
=19.5=6.5
2、A , B表示两个数，定义A*B=2 X A-B。
试求:
(1)(8.5 X 6.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)
【解析】定义新运算符号* ”表示A*B=2X A-B，即前面数的两倍与后面数之差；所以
(1)原式=2 X( 8.5 X 6.9) -5(2)原式=90*26
=17 X 6.9-5=2 X 90-26 =180-26
=117.3-5=154
=112.3
3、已知a, b是任意自然数，我们规定： a ® b= a+ b —1,a@b=ab —2 ,那么4@『6 ㊉8)㊉(3藝5) ]= ? 【解析】原式=4：[(6 8—1)二(3 5—2)] =4 ：[13 二13] =4：[13 13—1] =4 ：25 =4 25 —2 =98。
4、表示
(M +N)+2,(2008 *2010) *2009 = ________
【解析】原式一11.：2008 2010 “ 2 * 2009 =2009 * 2009 =[2009 2009 “ 2 =2009。
5、已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.
求:(1)3*3 ；(2)4*5 ；(3)若1*x=123，求x.
【解析】观察两个已知等式可以发现，“ * ”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。
(1)3*3=3+33+333=369
(2)4*5=4+44+444+4444+44444=49380
(3)提示：因为1* x=1 + 11 + 111+…=123
所以倒着算：123-仁122 122-11=111 111-11 仁0
即：1+11+111=1*3=123
=6
(1)原式=(21+15)-( 21-15)
=36 - 6
(2)原式={ (18+9)十(18-9) } O 2
=3 O 2
=(3+2)-( 3-2)
从而可知x=3
6、 已知 5△ 3=5X 6X 7, 3△ 6=3 X 4X 5X 6 X 7 X 8,按此规定计算：
(1) (4△ 3) + (6^ 2)
(2) ( 3A 2)X( 4厶 3)
【解析】观察两个已知等式可以发现， “△”定义为由前面的数开始称后面数一次加 1,相乘个数为“△”
之后的数字。
(1) 原式=4 X 5 X 6+6 X 7=120+42=162 (2) 原式=(3X 4)X( 4 X 5 X 6)
=12X 120 =1440
7、 设 A ® B=2 X( A+B ) -2 X( A - B ),
计算：(1) ( 12® 4)® 13;
(2) 70 ®( 18® 4)。
【解析】观察已知等式可知： “®”定义表示的是两个数和的
2倍与商的2倍的差。
如：12® 4=2 X( 12+4)
-2 X( 12 -4) =26
(1)原式=[2 X( 12+4) -2 X( 12 -4) ] ® 13
=[2 X 16-2 X 3] ® 13 =26 ® 13
=2 X( 26+13) -2X( 26 - 13) =2 X 39-2 X 2 =78-4 =74
(2)原式=70® [2 X( 18+4) -2 X( 18-4)]
=70 ® [2 X 22-2 X 4.5]
=70 ® 35 =2 X (70+35)-2 X (70 - 35) =206
8、规定a O b=(a+b) *(a-b)，按此规定计算
(1)21 O 15
⑵(18 O 9) O 2
【解析】观察已知等式可以发现， “O”定义为两数之和与两数只差的商，即
a O b=(a+b) +(a-b);所以有
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