惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科） 【试卷综评】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ）.A 21-.B i21 .C 21.D i 21-【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【答案解析】C 解析 ：解：化简得iz 2121+=，则虚部为21，故选C .【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可. 2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3 .B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 ：解：已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C . 【思路点拨】{}|||1,A y y x x R ==- 指的是函数值域，将绝对值函数数形结合求值域，在验证各答案.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为( ).A 15 .B 20 .C 25.D 30【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B .【思路点拨】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值. 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18 .B 36 .C 54.D 72【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D .【思路点拨】先应用等差数列的性质得8154a a a a +=+，再应用等差数列求和公式1()2n n n a a S +=求和.5．在二项式52)1(x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） .A 10 .B 10- .C 5- .D 20【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析 ：解：由二项式定理可知，展开式的通项为rr r x C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A .【思路点拨】先由二项式定理得通项r r r x C 3105)1(--，再根据未知量次数建立等式4310=-r 得2=r ，将r 值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.A 30 .B 12 .C 24 .D4【知识点】由三视图求面积、体积．【答案解析】C 解析 ：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C .【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） 3 2 4 3 第6题图.A 24π .B π2 .C 21.D 22π【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A .【思路点拨】利用积分找出满足题意的图形的面积与边长为2p的正方形的面积的比值即可.8．已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它θ=，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r=+)(（ ）.A 34 .B 3 .C 6.D 32【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 ：解：由题意()(1,)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,u u v <+>=，得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯=D ..【思路点拨】先求v ，再求u v +，数形结合求sin q ，最后套“向量积”的长度公式即可. 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】),32(+∞解析 ：解：由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分，列式直接可求得.10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】2213y x -=解析 ：解：抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a ==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -=.【思路点拨】据已知求a ，由离心率为2求c ，再由222c a b =+求b ，从而得到方程. 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个. 【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有：33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个. 【思路点拨】本题为有限制条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】3 解析 ：解：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3. 【思路点拨】先由约束条件画可行域，再数形结合平移目标函数直线系得最优解，最后代入目标函数求值即可.13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【答案解析】(1,)-+∞解析 ：解：设F x f x 2x 4=-+（）（）（）， 则F 1f 124220-=---+=-=（）（）（），又对任意R x ∈，2)('>x f ，所以F x f x 20??（）（）＞，即F （x ）在R 上单调递增，则F （x ）＞0的解集为（-1，+∞），即f （x ）＞2x+4的解集为（-1，+∞）．故答案为：（-1，+∞）【思路点拨】构建函数F x f x 2x 4=-+（）（）（），由f （-1）=2得出F （-1）的值，求出F（x ）的导函数，根据2)('>x f ，得到F （x ）在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到F （x ）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，B A ，分别是直线05sin cos =+-θρθρ和 圆θρsin 2=上的动点，则B A ，两点之间距离的最小值是 . 【知识点】极坐标方程与普通方程的互化；点到直线的距离.【答案解析】1 解析 ：解：由题意，直线:50l x y -+=，圆的标准方程22(1)1x y +-=，则圆心(0,1)到直线l 的距离为，且圆半径1r =，故m i n 1A B d r =-=-.【思路点拨】先把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可. 15．(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB ∆是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点， 且3=PO ，4=⋅PB PA ，则腰长OA = . 【知识点】构造圆应用其切割线定理.【答案解析】解析 ：解：】以O 为圆心，以OA 为半径作圆，则圆O 经过点B ，即OA OB r ==，设PO 与圆O 交于点C 且延长PO 交圆O 与点D PA PB PD PC =，即(3)(3)4r r +-=，得r =OA r ==【思路点拨】构造以OA 为半径的圆，由切割线定理建立关于半径的等式从而求出OA . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知02cos 22sin=-xx .(1)求x tan 的值；A P OB(2)求xxxsin)4cos(22cos⋅+π的值．【知识点】弦切互化；二倍角的正切公式.【答案解析】（1）43-(2)14解析：解：（1）∵sin2cos022x x-=，则cos02x≠-------------------1分∴tan22x=---------------------------2分∴22tan2tan1tan2xx=-----------------------------4分2224123⨯==---------------------------5分（2）原式22=---------------------------7分(cos sin)(cos sin)(cos sin)sinx x x xx x x-+=---------------------9分cos sinsinx xx+=------------------------------10分1tantanxx+=------------------------------11分14=------------------------------12分【思路点拨】（1）先根据已知条件求出tan2x，再利用倍角公式求出tan x即可；(2)把分母展开消项即可.17．（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξξ【知识点】频率分布直方图;二项分布.【答案解析】(1) 0.03a = (2)24.6 (3) 35解析 ：解：(1) 由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分 （3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，空气质量指数0.032 0.020 0.018O 5 15 25 35 45 a()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 【思路点拨】(1)所有矩形的面积和为1解得a ；(2)代入公式求值即可；(3)利用二项分布求出分布列，然后求其期望值即可. 18.（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB ==(1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，求锐二面角1A AC B --的大小。