2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立,那么()()()=•P AB P A P B 。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、复数z 满组(3)(2)5--=z i (z 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ,则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数,且当0>x 时,21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220210,380,--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点,则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件,则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p(A)16 (B)8(C)3 (D)312、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xyz取得最大值时,212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷(共90二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
13、执行右图所示的程序框图,若输入c 的值为0.25,则输出的n 的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x , 使得121++-≥x x 成立的概率为______. 15、已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且3, 2.==AB AC 若λ=+AP AB AC , 且⊥AP BC ,则实数λ的值为____________.16、定义“正对数”:0,01,ln ln ,1.+<<⎧=⎨≥⎩x x x x 现有四个命题:①若0,0>>a b ,则ln ()ln ++=ba b a ; ②若0,0>>a b ,则ln ()ln ln +++=+ab a b ;③若0,0>>a b ,则ln ()ln ln +++≥-a a b b;④若0,0>>a b ,则ln ()ln ln ln 2++++≤++a b a b . 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.17、(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且76,2,cos .9+===a c b B . (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()-A B 的值.18、(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥-P ABQ 中,平面⊥PB ABQ ,==BA BP BQ ,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP的中点,2=AQ BD ,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证://AB GH ;(Ⅱ)求二面角--D GH E 的余弦值。
19、(本小题满分12分)甲、乙两支球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。
除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23。
假设各局比赛结果相互独立。
(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分。
求乙队得分X 的分布列和数学期望。
20、(本小题满分12分) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4224,2 1.==+n n S S a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且12λ++=n n na T (λ为常数)。
令22,(*)=∈n n cb n N ,求数列{}nc 的前n 项和n R 。
21、(本小题满分13分) 设函数2()=+x xf x c e( 2.71828…=e 是自然对数的底数,∈c R ) (Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值;(Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数。
22、(本小题满分13分)椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的左、右焦点分别是12,F F1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF 。
设12∠F PF 的角平分线PM 交C的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。
设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0≠k ,试证明1211+kk kk 为定值,并求出这个定值.理科数学试题参考答案一、选择题DCABB CADAB DB 二、填空题313 712①③④三、解答题17、(Ⅰ)由余弦定理 2222cos =+-b a c ac B , 得 22()2(1cos )=+-+b a c ac B ,又72,6,cos 9=+==b ac B ,所以 9=ac ,解得 3,3==a c . (Ⅱ)在 ∆ABC 中,sin 9==B , 由正弦定理得sin sin 3==a B A b , 因为 =a c , 所以 A 为锐角.所以1cos 3==A , 因此sin()sin cos cos sin 27-=-=A B A B A B 18、(Ⅰ)证明:因为 ,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点, 所以 //,//EF AB DC AB ,所以 //EF DC ,又 ,平面平面⊄⊂EF PCD DC PCD ,所以 //平面EF PCD , 又 ,=平面平面平面⊂EF EFQ EFQ PCD GH ,所以//EF GH ,又 //EF AB ,所以//AB GH .(Ⅱ)解法一:在∆ABQ 中, 2,==AQ BD AD DQ 所以 0=90∠ABQ ,即⊥AB BQ ,因为平面⊥PB ABQ , 所以 ⊥AB PB , 又 =BPBQ B ,所以 平面⊥AB PBQ .由(Ⅰ)知//AB GH ,所以 平面⊥GH PBQ 又 平面⊂FH PBQ ,所以 ⊥GH FH ,同理可得 ⊥GH HC 所以∠FHC 为二面角 --D GH E 的平面角. 设 2===BA BQ BP ,连接FC , 在 ∆Rt FBC中,由勾股定理得=FC ∆Rt PBC中,由勾股定理得=PC . 又H 为 ∆PBQ 的重心,所以133==HC PC ,同理3=FH . 在∆FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529+-∠==-⨯FHC ,即二面角--D GH E 的余弦值为45-. 解法二:在∆ABQ 中,2,==AQ BD AD DQ ,所以又 平面⊥PB ABQ ,所以 ,,BA BQ BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设2===BA BQ BP ,则 (1,0,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2)E F Q D C P , 所以 (1,2,1),(0,2,1),(1,1,2),(0,1,2)=--=-=--=-EQ FQ DP CP 设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)=m x y z , 由0,0•=•=m EQ m FQ , 得 1111120,20,-+-=⎧⎨-=⎩x y z y z 取 11=y ,得(0,1,2)=m .设平面PDC 的一个法向量为222(,,)=n x y z ,由0,0•=•=n DP n CP , 得 2222220,0,--+=⎧⎨-+=⎩x y z y z 取 21=z ,得(0,2,1)=n .所以 4cos ,5•<>==m n m n m n, 因为 二面角--D GH E 为钝角,所以 二面角--D GH E 的余弦值为45-. 19、(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A , 由题意,各局比赛结果相互独立,故3128()()327==P A , 22232228()()(1)33327=-⨯=P A C ,222342214()()(1)33227=-⨯=P A C . 所以,甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为827,以3:2胜利的概率为427.(Ⅱ)记“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 所以222442214()(1)()(1)33227=-⨯-=P A C , 由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,121216(0)()()(27),==+=+=P X P A A P A P A 又 34(1)(27)===P X P A ,44(2)(27)===P X P A3(3)1(0)(1)(2)27==-=-=-==P X P X P X P X所以X 的分布列为因此 1644370123272727279=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 20、(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . 由4224,2 1.==+n n S S a a 得11114684,(21)22(1) 1.+=+⎧⎨+-=+-+⎩a d a d a n d a n d解得 11, 2.==a d 因此 21,*=-∈n a n n N . (Ⅱ)由题意知:12λ-=-n n nT , 所以2≥n 时,112112222------=-=+=n n n n n n n n n b T T 故1221221(1)(),*24---===-∈n n n n n c b n n N , 所以 01231111110()1()2()3()(1)()44444…-=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯n n R n ,则 12311111110()1()2()(2)()(1)()444444…-=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯n nn R n n ,两式相减得1231311111()()()()(1)()44444411()144(1)()14141131()334…-=++++--⨯-=--⨯-+=-n n n n nn R n n n 整理得1131(4)94-+=-n n n R所以 数列{}n c 的前n 项和1131(4)94-+=-n n n R21、解:(Ⅰ)2'()(12)-=-xf x x e ,由 '()0=f x ,解得12=x ,当 12<x 时,'()0>f x ,()f x 单调递增;当 12>x 时,'()0<f x ,()f x 单调递减.所以,函数 ()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞,单调递减区间是1(,)2+∞,最大值为111()22-=+f e c .(Ⅱ)令2()ln ()ln ,(0,)-=-=--∈+∞xg x x f x x xec x .(1) 当 (1,)∈+∞x 时, ln 0>x ,则2()ln -=--xg x x xe c ,所以 22'()(21)-=+-x xe g x ex x . 因为 2210,0->>x e x x, 所以 '()0>g x 因此 ()g x 在(1,)+∞上单调递增.(2)当 (0,1)∈x 时, ln 0<x ,则2()ln -=---xg x x xec ,所以 22'()(21)-=-+-x xe g x ex x .因为222(1,),10∈>>>x x e e e x ,所以21-<-x e x.又211-<x ,所以2210-+-<xe x x,即'()0<g x ,因此 ()g x 在(0,1)上单调递减. 综合(1)(2)可知 当 (0,)∈+∞x 时,2()(1)-≥=--g x g e c .当2(1)0-=-->g ec ,即2-<-c e 时,()g x 没有零点,故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0; 当2(1)0-=--=g ec ,即2-=-c e 时,()g x 只有一个零点,故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1;当2(1)0-=--<g e c ,即2->-c e 时,① 当(1,)∈+∞x 时,由(Ⅰ)知 211()ln ln ()ln 12--=--≥-+>--xg x x xec x e c x c ,要使()0>g x ,只需使ln 10-->x c ,即 1(,)+∈+∞cx e ;② 当(0,1)∈x 时,由(Ⅰ)知 211()ln ln ()ln 12--=---≥--+>---xg x x xec x e c x c ,要使()0>g x ,只需使ln 10--->x c ,即 1(0,)--∈cx e;所以 2->c e 时,()g x 有两个零点,故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 综上所述,当2-<-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0; 当2-=-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1; 当2->-c e 时,关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2.22、解:(Ⅰ)由于222=-c a b ,将=-x c 代入椭圆方程22221+=x y a b,得2=±b y a ,由题意知221=b a ,即22=a b .又==c e a 2,1==a b .椭圆C 的方程为2214+=x y(Ⅱ)解法一:设000(,)(0)≠P x y y .又 12(F F ,所以直线12,PF PF 的方程分别为:12000000:(0,:(0.-+=-=PF PF l y x x y l y x x y由题意知=由于点P 在椭圆上,所以220014+=x y=因为022<-<<m x ,=所以034=m x .因此3322-<<m . 解法二:设00(,)P x y ,当002≤<x 时,①当0=x 时,直线2PF的斜率不存在,易知1)2P或1)2-P .若1)2P ,则直线1PF的方程为0-+=x .=m ,因为<<m,所以=m若1)2-P ,同理可得=m ②当0≠x 时,设直线12,PF PF 的方程分别为12(,(==y k x y k x ,由题意知=,所以221221111+=+k k , 因为 220014+=x y 并且12,==k k22222020(34)(34)+===-x x , 即=.因为0002且<≤<≠m x x 所以. 整理得 034=x m ,故302且≤<≠m m综合①②可得 302≤<m .当0-20<<x 时,同理可得 302-<<m . 综上所述,m 的取值范围是 33(,)22-.(Ⅲ)设000(,)(0)≠P x y y ,则直线l 的方程为00()-=-y y k x x , 联立 2200+=14()⎧⎪⎨⎪-=-⎩x y y y k x x整理得 222222000000(14)8()4(21)0++-+-+-=k x ky k x x y kx y k x由题意 0∆=,即 2220000(4)210-++-=x k x y k y又220014+=x y 所以 22200001680++=y k x y k x 故 004=x k y , 由(Ⅱ)知00012000211+=+=x x x k k y y y , 所以 001212004211111()()8+=+=-=-y x kk kk k k k x y , 因此1211+kk kk 为定值,这个定值为8-.。