2017年北京市高考理科数学试卷及答案绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）32（C）53（D）85（4）若x，y满足，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数（6）设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得m nλ=”是“m n0⋅＜”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为.则下列各数中与M N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线221y x m -=的离心率为3，则实数m =_______________.（10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22ab =__________.（11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。

若1sin 3α=，cos()αβ-= .（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。

②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在△ABC中，A =60°，c=3a.7（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。

一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,1)作直线l2与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.（19）（本小题13分）已知函数f(x)=e x cos x−x.（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.2（20）（本小题13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1–a1n,b2–a2n,…,b n–a n n}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数．（Ⅰ）若a n=n，b n=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{c n}是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m 时，n c M>；或者存在正整数m，使得c m,c m+1,c m+2,…是等n差数列．2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1．A【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x ，故选A ．2．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ，Q对应的点在第二象限，∴1010+<⎧⎨->⎩a a 解得：1<-a故选B ．3．C【解析】当0=k 时，3<k 成立，进入循环，此时1=k ，2=s ；当1=k 时，3<k 成立，继续循环，此时2=k ，32=s ； 当2=k 时，3<k 成立，继续循环，此时3=k ，53=s ； 当3=k 时，3<k 不成立，循环结束，输出s ． 故选C ．4．D【解析】设2=+z x y ，则122=-+z y x ，由下图可行域分析可知，在()33，处取得最大值，代入可得max 9=z ，故选D ．5．A【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R ，关于原点对称，由()()113333--⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=x y 是R 上的增函数，函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 是R上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即()1=33⎛⎫- ⎪⎝⎭x x f x 是R 上的增函数．综上选A6．A【解析】由于u r m ，r n 是非零向量，“存在负数λ，使得λ=u r r m n ．”根据向量共线基本定理可知u r m 与r n 共线，由于0λ<，所以u r m 与r n 方向相反，从而有0⋅<u r r m n ，所以是充分条件。

反之，若⋅<u r r m n ，u r m 与r n方向相反或夹角为钝角时，u r m与r n可能不共线，所以不是必要条件。

综上所述，可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件，所以选A ．7．B【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ，所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ．8．D 【解析】由于36180lglg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=MM N N=≈，所以93.2810MN≈，故选D ．9．2【解析】∵双曲线的离心率为3∴3=ca∴223=ca∵1=a ，=b m，222+=ab c ∴222223312==-=-=-=bm c a a a10．1437= 又337377==⨯=Q c a1sin 2ABC S ac B∆∴=1437327=⨯⨯⨯63=16．【解析】（1）取AC 、BD 交点为N ，连结MN ．∵PD ∥面MACPD ⊂面PBD面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥在PBD △中，N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：取AD 中点为O ，BC 中点为E ，连结OP ，OE ∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD以OD 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标可知()200D ，，，()200A -，，，()240B -，，，()002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m=u r，， 且()202PD =-u u u r，，，()242PB =--u u u r，，设面PBD 的法向量为()nx y z =r，， 2202420x z x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩可知()112n =r ，， ∴()222211cos 21112mn <>==⨯++u r r，由图可知二面角的平面角为锐角 ∴二面角B PD A --大小为60︒ 方法二：过点A 作AH PD ⊥，交PD 于点E ，连结BE ∵BA ⊥平面PAD ，∴PD BA ⊥， ∴PD ⊥平面BAH ，∴PD BH ⊥，∴AEB ∠即为二面角B PD A --的平面角AD PO AE PD ⋅=⋅，可求得433AE = 4tan 343AEB ∠== ∴60AEB ∠=︒G N FPH MBCD A设()()()()112211,,,,,，，ABM x y N x y A x y B x y ，根据题意显然有10≠x若要证A 为BM 中点 只需证2=+A B My y y 即可，左右同除1x 有1112=+A B My y y x x x即只需证明2=+OAOB OMkk k 成立其中1,===OAOP OB ONkk k k当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零．设直线()102=+≠：MN y kx k联立212⎧=+⎪⎨⎪=⎩y kx y x 有()221104+-+=k x k x ，考虑()22114124∆=--⨯⨯=-k k k，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12<k ．由韦达定理可知：1221-+=k x x k ……①，12214=x x k ……②212121122112112222+=+=++++=+=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x将①②代入上式，有()21212212222121224-++=+=+-=⨯kx xk k k k k x x k即22+=+==ONOM OB OM OAkk k k k ，所以2=+AB Myy y 恒成立∴A 为BM 中点，得证．法二：当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零．设10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为点，过Q的直线MN方程为()102=+≠y kx k ，设1122(,),(,)M x y N x y ，显然，12,x x 均不为零． 联立方程212⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 得221(1)04+-+=k x k x ，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12<k ．由韦达定理可知：1221-+=k x x k ……①，……②由题可得,A B横坐标相等且同为1x ，且22:=ON y l y x x ，B在直线ON 上，又A在直线OP：=y x上，所以121112(,),,⎛⎫⎪⎝⎭x y A x x B x x ，若要证明A 为BM 中点，只需证2=+A B My y y ，即证121122+=x y y x x ，即证1221122+=x y x y x x ，将11221212⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y kx y kx 代入上式，即证21121211()()222+++=kx x kx x x x ，即12121(22)()02-++=k x x x x ，将①②代入得2211(22)042k k k k --+=，化简有恒成立，所以2=+AB Myy y 恒成立，所以A 为BM 中点．19．【解析】（1）∵()e cos =-xf x x x∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--xxxf f x x x x x∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x ，即10y -=．（2）令()()e (cos sin )1'==--xg x f x x x()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2e sin 0'=-<xg x x∴()g x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减 ∴π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()(0)(0)0g x g f '<==，即()0'<f x∴()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减∴0=x 时，()f x 有最大值(0)1=f ；π2=x 时，()f x 有最小值2ππππe cos 2222π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭f ．20．【解析】（1）易知11=a ，22=a，33=a且11=b ，23=b ，35=b ．∴1110=-=c b a ，{}{}21122max 22max 111=--=--=-，，c b a b a ，{}{}3112233max 333max 2342=---=---=-，，，，c b a b a b a ．下面我们证明，对*∀∈N n 且2n ≥，都有11=-⋅nc b a n．当*∈N k 且2k n ≤≤时，()()11-⋅--⋅k k b a n b a n()211⎡⎤=---+⎣⎦k nk n()()221=---k n k()()12=--k n∵10->k 且20-n ≤，∴()()11110-⋅--⋅⇒-⋅-⋅kkkkb a n b a n b a n b a n ≤≥．因此，对*∀∈N n 且2n ≥，111=-⋅=-ncb a n n，则11+-=-n n cc ．又∵211-=-c c ，故11+-=-n n cc 对*∀∈N n 均成立，从而{}nc 为等差数列．（2）设数列{}na 与{}nb 的公差分别为ad ，bd ，下面我们考虑nc 的取值．对11-⋅b a n ，22-⋅b a n ，…，nn ba n-⋅，考虑其中任意项-⋅iib a n （*∈N i 且1i n ≤≤），-⋅i i b a n()()1111b a b i d a i d n =+--+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面我们分0=ad，0>ad ，0<ad三种情况进行讨论．（1）若0=ad，则()()111-⋅=-⋅+-⋅iibb a n b a n i d①若0bd ≤，则()()()1110-⋅--⋅=-⋅iibb a n b a n i d ≤ 则对于给定的正整数n 而言，11=-⋅nc b a n此时11+-=-n n cc a ，故{}nc 为等差数列．②若0>bd ，则()()()0-⋅--⋅=-⋅iinnbb a n b a n i n d ≤则对于给定的正整数n 而言，1=-⋅=-⋅nn n n cb a n b a n．此时11n n b cc d a +-=-，故{}nc 为等差数列．此时取1=m ，则123L ，，，c c c 是等差数列，命题成立．（2）若0>ad，则此时-⋅+abd n d 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在*∈N m ，使得当n m ≥时，0-⋅+<abd n d则当n m ≥时，()()()()1110-⋅--⋅=--⋅+iiabb a n b a n i d n d ≤（*∈N i ，1i n≤≤）．因此，当n m ≥时，11=-⋅nc b a n．此时11n n cc a +-=-，故{}nc 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）若0<ad，则此时-⋅+abd n d 为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数． 故必存在*∈N s ，使得当n s ≥时，0-⋅+>abd n d则当n s ≥时，()()()()0iinnab b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+≤（*∈N i ，1i n≤≤）因此，当n s ≥时，=-⋅nn n c b a n．此时n c n-⋅=n nb a n n=-+nn ba n()11-=-⋅+-++ba ab b d d n d a d n令0-=>adA ，1-+=ab da d B，1-=bb dC下面证明=++n c C An B n n对任意正数M ，存在正整数m，使得当n m≥时，>nc M n．①若0C ≥，则取1⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦M B m A （[]x 表示不大于x 的最大整数）当n m ≥时，1n M B c An B Am B A B n A ⎛⎫⎡-⎤++=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭≥≥->⋅+=M BA B M A ，此时命题成立． ②若<C ，则取1M C B m A ⎡--⎤=+⎢⎥⎣⎦当n m ≥时，--++++>⋅++--++=nM C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A≥≥≥．此时命题也成立．因此，对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m≥时，>nc M n．综合以上三种情况，命题得证．。