(1) 1 2 2 1 3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
(2)
0 0
0 0
1 2
2 4
3 6
0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1
0 3 0 2 2
解 （1）对此矩阵只实施初等行变换可以 得到
1 2 1 0 1 2
1 2 2 1 3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
1 2
1 2
1
T
0
2
3
(3, ( 1 ,
1) 1 )
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
3
1 2
1
1 3
选取
B
1 2
C 21 1
,
C 0 0 1 2
也可以选取
3
C15 1
B
2 4
C 21 1
,
C 0
0
1 2
1
3
2
C15 1
（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到
0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 3 0 2 2
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
所以 Rank( A) 2 ，且容易看出此矩阵的
1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由此可知 Rank( A) 2 ，且该矩阵第一列，
第三列是线性无关的。选取
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
C
1 0
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C 26 2
同样，我们也可以选取
1
B 1 2 4
第四章 矩阵的分解
本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩 阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，
极分解，谱分解。
矩阵的满秩分解
定理：设 A Crmn 为任意矩阵，则存在 B Crmr , C Crrn
使得
A BC
其中 A 为列满秩矩阵，B为行满秩矩阵(我
们称此分解为矩阵的满秩分解)。
r 证明：假设矩阵 A 的前 个列向量是线性
n cn11 cn22
其中 cii i 0, i 1,2,
是有
cnnn
,n ，于
A 1 2
1 2
UR
其中 U 1
n
c11 c21
cn1
n
c22
cn
2
0
cnn
2
n Unnn ，
c11 c21
cn1
R
c22
cn2
0
cnn
显然矩阵 R 是一个正线上三角矩阵。
下三角矩阵。
证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列
分块得到
A 1 2
n
由于A Cnn1n,
，所以
2,
,
n
是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位
化方法，先得到一组正交向量组
1, 2, , n
再单位化，这样得到一组标准正交向量组
1, 2, , n
并且向量组之间有如下关系
1 c111 2 c211 c222 3 c311 c322 c333
后重复上面的过程即可。这样存在
P Cmmm , Q Cnnn
且满足
PAQ
Ir 0
D 0
从而
A
P 1
Ir 0
D 0
Q
1
P
1
Ir 0
I
r
D Q 1
BC
其中
B
P 1
Ir 0
Crmr ,
C Ir D Q 1 Crrn
例 分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
0
1 1
C 42 2
2
1 C 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
（2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到
0 0 1 2 3 0 0 2 4 6
0 0
0 0
1 0
2 0
3 0
所以 Rank( A) 1 ，且此矩阵的第三，第
四，第五列任意一列都是线性无关的，所以 选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。
定理：如果 A BC B1C1 均为矩阵 A
的满秩分解，那么
（1）
存在矩阵
G
C nn n
满足
B B1G , C G1C1
（2）
C H (CC H )1(BH B)1 BH C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
矩阵的正交三角分解
定理
设
A
C nn n
，那么
A
可唯一地分解为
A UR 或 A R1U1 其 素中 为正U的,U上1 三U角n矩n阵为，酉R矩1 是阵对，角R线是元对素角为线正元
0
0 1 0
0 0
1
2 2 1 (2) A 0 2 2
2 1 2
解：
（1）容易判断出
A
C 43 3
，即 A
是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，
将 A 1 2 3 的三个列向量正交
化与单位化。先得到一个正交向量组
1 1 1 1 0 0T
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
2
1 2
1
分解的唯一性证明。设
A U1R1 U2R2
则
AH A R1H R1 R2H R2
因为 AH A 是正定的Hermite 矩阵（为什
么？），由正定二次型的等价定理可知，其
三角分解是唯一的，故 R1 R2 ，进一步 有 U1 U2 。
例1 ：求下列矩阵的正交三角分解
1 1 1
(1)
A 1 0
第二列和第四列是线性无关的，选取
1 B 2
3
0 C 0
1
1
C 32 2
,
2
1 0
0 0
0 1
0 1
C 25 2
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形
式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主 元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵， 将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行 满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下 联系：
三角矩阵。于是
A RTU T R1U1
其中 R1 是对角线元素为正的三角矩阵， 而U1 U nn .此结论也可以被推广为
定理：设 A Crmr ，则 A 可以唯一地分
解为
A UR
其中 R U U
是r
mr r
阶对角线元素为正的三角矩阵，
，即U 是一个次酉矩阵。
证明：分解的存在性证明，同上面的例题完 全一样。
无关的，对矩阵 A 只实施初等变行换可以
将其化成
Ir D
0
0
即存在
P
C mm m
使得
PA
Ir 0
D
0
于是有
A
P1
Ir 0
Ir
其中
D BC
B
P1
Ir
0
Crmr ,C
Ir
D Crrn
r 如果 A 的前 列线性相关，那么只需对 A r 作初等列变换使得前 个列是线性无关的。然
下面考虑分解的唯一性。设有两种分 解式
A UR UR
那么有
U 1U RR1
注意到 U 1U 是酉矩阵，而 RR1 是一个对
角线元素为正的上三角矩阵，由前面的结论 可知
U I , RR1 I
因此有
U U, R R
因为有
A
C nn n
，所以
照分解的存在性可知
AT Cnnn ，按
AT UR 其中 U U nn , R 是对角线元素为正的