第四章 习题答案1。

用Gauss 消去法解方程组12312312323463525433032x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对其进行Gauss 消去得123234414726002x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭得方程组12312323323461314482224x x x x x x x x x ++=⎧=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-=-⎪⎩ 2。

用Gauss 列主元素消去法解方程组1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12r r ↔−−−→1231070732645156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21311310122310707161061010550522r r r r x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23r r ↔−−−→12310707550522161061010x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭32125r r +−−−→1231070755052231310055x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到方程组12123233107705551221313155x x x x x x x x ⎧⎪-==⎧⎪⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ 3。

举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU 分解。

例如：设()0010001000P P B C A A LU M M A D B C P M AB M AC D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠≠=== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎧⎪=⎪⇒=⎨=⎪⎪+=⎩可分解M 0,P 0,有与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU 分解。

4。

下列矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？123111126241,221,251546733161546A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：12A 10,0,24=-=而且不能分解;设111221331B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 可以进行LU 分解，则B=111213212223313233100100100u u u l u u l l u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算得111213213122323112322232321,1,1,2,3,0.310 3.u u u l l u a l u l u l l B LU =======+=⨯+⨯=∴∴而可以任意选，的分解不唯一。

12C 0,0,,.25≠≠而且能分解且分解唯一5。

对下列给定的矩阵A 作LU 分解，并利用分解结果计算A -1。

248418166220A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解： 248418166220A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭100248210010323110076-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭L=100210311⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭U= 248010320076-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由()1111A LU A LU U L ----===有41613190959511149519095511167676⎛⎫--⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭6。

用Doolittle 分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：A=1020010112430103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=10001020010001011210002101010002⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭其中L=1000010012100101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ U=1020010100210002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭由Ly=()53617T，，， 解得y=()5364T，，， 由Ux=y ， 解得x=()1122T，，，7。

用Crout 分解法接方程组。

12341234214916101827644411681256190x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：10001234120001361660001411436240001A LU ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由Ly=b=()2,10,44,190T得y=()2,4,3,1T由Ux=y=()2,4,3,1T得x=()1,1,1,1T--8。

用平方根法求解方程组123111111222212331123n x n x n x n n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L M L L L L L M L解：易知111112221233123A n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L 是对称矩阵，可求得1000110011101111L ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L由Ly=b 得y=(),1,1,,1Tn ---L 由TL x y =解得x=()1,0,0,,1Tn +-L9。

用改进的平方根法求解下列方程组()()123123411611 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25422102223523144x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭解（1）A=4111 4.25 2.751 2.75 3.5-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭分解得L=100110413144⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D=400040001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 由LU=b 得U=()6,1,1T-由Dy=U 得y=31,,124T⎛⎫- ⎪⎝⎭由TL x y =得x=()2,1,1T-（2）12342210223523144x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 分解得10011021212L ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭D=400010009⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭由LU=y 得U=()10,0,9T由Dy=U 得y=5,0,12T⎛⎫⎪⎝⎭由TL x=y 得x=()2,2,1T10。

用追赶法求解三对角方程组12345121000012100001210000121000012x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：12,r =22113,2()(1)222l r =-=--⨯-=33224,2()(1)333l r =-=--⨯-=4435,44l r =-=5546,.55l r =-=12341c c c c ====-100002100013100001002224010000103335001000014446001000055L U -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111,,,,234552111,,,,63236TTLy b y ux y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭由得由得。