（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M （m ，0），当椭圆的离心率满足 1322<<e 时，求实数m 的取值范围。

11.（本小题满分20分）映射f 的定义域是{}1,2,,20A = 的全体真子集，值域包含于{}1,2,,10 ，满足条件：对任意,B C A ⊆，都有()()(){}min ,f B C f B f C = ，求这种映射的个数．加 试一、（本题满分40分）设A B C D E 、、、、为直线l 上顺次排列的五点，AC BCCE CD=，F 在直线l 外的一点，连结FC 并延长至点G ，恰使FAC AGD ∠=∠，FEC EGB ∠=∠同时成立.求证：FAC FEC ∠=∠。

二、（本题满分40分）已知：,,0a b c≥，2a b c ++=，求证：()()()1111bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++。

三、（本题满分50分）设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，d k，满足1=d1<d2<…<d k = n。

再设D = d1d2＋d2d3＋…＋d k－1d k。

(i) 证明：D<n2；(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。

四、（本题满分50分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．参考答案一试1. 答：1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,23B a =-+，要使C B ⊆，只需C 中的最大元素在B 当中，所以()22223,23a a a ⎧-≤+⎪⎨≤+⎪⎩，得132a ≤≤。

2. 答：97 设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知23BD AB DC AC ==，于是3255AD AB AC =+ ，又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD +====+，所以()5121293939A O A D AB AC A B A BB C==+=++5299AB AC =+ ，因此79λμ+=。

3. 答：(),1-∞利用函数图象进行分析易得结果。

4. 答：6110若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1n。

如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,,n a a a ，则概率为1211111112011999999n a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，所以所求概率为 1211111112011999999n p a a a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑111111111*********20091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11111111111110099981098⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相除即得6111110001001010p =⨯⨯=。

5. 答：916π 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。

设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690my my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634my y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-=。

因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++，所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π。

6. 答：501当2n ≥时，将原式变形为()()()12111n n a a n n n n n n+=-+-+，令()1n n a b n n =-，则有()121n n b b n n +=-+，叠加可得21122n b b n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，于是()()()21122n n n a a n n -=---。

由20072008a ，得2200720062008200620052a ⨯⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，化简得()26mod2008a ≡。

由2008n a ，得()()()()21120m o d20082n n a n n ----≡，将上述关于2a 的结果代入得()()()110mod1004n n +-≡，于是质数()()25111n n -+且n 是奇数，所以满足条件的最小的n 是501。

7. 答：16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。

与第一个几何体形成的截面是12，所以面积是()()22222201216h h ππ--=-，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。

8. 答：815令2u t =，原方程化为3321()(3)0.x y u x y u x y-+++=- ① 233221(3)4()523(53)().x y x y x yx xy y x y x y ∆=+--⋅-=+-=-+所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，,3,3,(53)()0x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪-+<⎩或,3,3,(53)()0,30.x y x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪-+≥⎪⎪+<⎩ 点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为124181363.2525ABO BCOS S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=9. （本小题满分16分）解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤。

假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+⨯+⨯++⨯--21111212212n n n n n n n n n n -++⎛⎫=++⨯++⨯ ⎪--⎝⎭112n n n a n n++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+⨯=⨯≤⨯<。

所以数列{}n a 中的最大值是45103a a ==。

10.（本小题满分20分）解：椭圆过定点A （1，0），则,1,12b c a -==,12b e -=∵1322<<e ，∴330<<b 。

由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线)0(≥=x x y的交点，就必过椭圆与射线)0(≥-=x x y 的交点。

联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥=1)0(222b y x x x y ，解得 21b b y x +==。

∵330<<b ，∴210<<x 。

设抛物线方程为：)(22m x p y --=，1,0>>m p 。

又 ∵12-=m p， ∴ ))(1(2m x m y --= ① 把 x y =，210<<x 代入①得0)1(4)1(42=---+m m x m x ，1>m ，210<<x 。

令)1(4)1(4)(2---+=m m x m x x f ，1>m ，210<<x ， ∵ )(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内有根且单调递增， ∴⎪⎩⎪⎨⎧>---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛<--=0)1(4)1(241210)1(4)0(m m m f m m f ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>42342301〈〈或m m m综上得：4231+<<m 。

11.（本小题满分20分）解：记{}/i A A i =，其中1,2,,20i = 。

首先任意设定()()()1220,,,f A f A f A 的值，则对于A 的任意真子集B ，记{}12/,,,i i in A B a a a = ，则()()()()(){}1212min ,,,i i in i i in f B f A A A f A f A f A == ，因此，映射f 可由()()()1220,,,f A f A f A 的值完全确定。