高中数学竞赛模拟试题一一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，5678=⨯分）1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。

2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。

记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f。

3、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11A BD A --的度数是 。

4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

5、若正数cb a ,,满足ba cc a b c b a +-+=+，则ca b +的最大值是 。

6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。

7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni ia 01的值是 。

8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x xx xx xx x++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++）9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )求证：对于任何正整数n ，都有：n nn n a a 111+≥+10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。

（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31，求证：||||||CD BC AB ==11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f122+-x tx 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -=（Ⅱ）证明：对于)2,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .二 试（考试时间：150分钟 总分：200分）一、（本题50分）如图，1O 和2O 与ABC 的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。

求证：直线PA 与BC 垂直。

E FAB C GH PO 1。

O 2二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足1≥xyz 。

证明：0225252252522525≥++-+++-+++-yx z z z x z y y y z y x x x三、（本题50分）对每个正整数n，定义函数0()[{}n f n n n ⎧⎪=⎨⎪⎩（当为平方数）（当不为平方数）（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，])[}{x x x -=。

试求：∑=2401)(k k f 的值。

四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？答案与解析一、填空题 1、453。

y x 42+≥2222x y +=33,24x y ==时取最小值,此时22x y +35。

2、4。

解： 将5)2010(=f 记做52010→，于是有89583716420421458985292552010→→→→→→→→→→→→→从89开始，n f 是周期为8的周期数列。

故4)89()89()89()2010(58250520052010====⨯+f f f f 。

3、60。

解：连结1D C ,作⊥1CE BD ，垂足为E ，延长CE 交1A B 于F ，则1FE BD ⊥，连结AE ，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角11A BD A --的平面角。

连结AC ，设1AB =，则112, 3.AC AD BD ===1Rt ABD ∆在中，1123AB AD AE BD ⋅==，在22222242213cos 42223AE CE AC AE AC AEC AEC AE CE AE -+--∆∠====-⋅中, 0120,AEC FEA AEC ∴∠=∠∠而是的补角，060FEA ∴∠=。

4、40183。

解：三个数成递增等差数列，设为d a d a a 2,,++，按题意必须满足,20102≤+d a1004≤d 。

对于给定的,d a 可以取1,2,,20102d -.CED1C1A1B1ABDF故三数成递增等差数列的个数为 .1004*1005)22010(10041=-∑=d d三数成递增等差数列的概率为 401831004*100532010=C 。

5、4117-。

解：由条件，有cb ab ac c a b +++=+， 令z a c y c b x b a =+=+=+,,； 则2,2,2xz y c z y x b y z x a -+=-+=-+=， 从而原条件可化为：,1411++≥++≥-+++=+yx zy z x z y x z x z y z y x令,t zy x =+则14+≥tt ，解得21712171-≤+≥t t 或，故41172122-≥-=-+=+t z z y x c a b6、1.解：经过,M N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-上，设圆心为(,3)S a a -，则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过,,M N P 三点的圆S 必与x 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 1a =或7a =-.即对应的切点分别为(1,0)P 和(7,0)P '-，而过点,,M N P '的圆的半径大于过点,,M N P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点(1,0)P 为所求，所以点P 的横坐标为1.7、)32(312--+n n .解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。

()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。

8、4.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=x x x x x x x x x x x x x f cot sin 1tan cos 1)cot (tan cot cos 1tan sin 1)cos (sin )(⎪⎭⎫⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥x x x x x x x x x x x x cot cos tan sin 4)cot (tan cot cos tan sin 4)cos (sin （由调和平均值不等式）4=要使上式等号成立，当且仅当⎩⎨⎧+=++=+)2(sin cot cos tan )1(cot cos tan sin x x x x x x x x （1） －（2）得到x x x x sin cos cos sin -=-， 即得x x cos sin =。

因为)2,0(π∈x ，所以当4π=x 时，4)4()(==πf x f 。

所以4)(min =x f 。

二、解答题 9、证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111 由算术-几何平均值不等式，可得011212312311+n n nn n n a a a a a a a a a a a a -++≥⋅⋅⋅⋅注意到110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即nnnn a a 111+≥+10、解：（1）设直线l ：b kx y +=代入m y x =-22得：02)1(222=----m b bkx x k ，0>∆得：0)1(22>-+k m b ，设),(11y x B ，),(22y x C ，则有22112k bk x x -=+，22211)(km b x x -+-=， 设),(33y x A ，),(44y x D ，易得：kb x -=13，kbx +-=14， 由||||||CD BC AB ==得||31||AD BC =，故||31||4321x x x x -=-，BA CQ PyOC xDBA代入得|12|311)(4)12(22222k b km b k bk -=-++-， 整理得：)1(8922-=k m b ， 又|1|2||k b OA -=，|1|2||kbOD +=，︒=∠90AOD ， ∴229|1|8AODb S m k ∆==-为定值. （2）设BC 中点为P ，AD 中点为Q 则22112k bkx x x p-=+=，24312k bkx x x Q-=+=，所以Q P x x =，P 、Q 重合，从而||||DP AP =，从而||||CD AB =，又BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31，所以||31||AD BC =， 从而||||||CD BC AB ==.11、解：（Ⅰ）设22121122,4410,4410,x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则221212121214()4()20,2()02x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-< 则[]211212212122222121()()2222()()11(1)(1)x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---=-=++++又12121212211()22()20()()02t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴-> 故()f x 在区间[],αβ上是增函数。