2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.
问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =
方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ∆≅∆ 于是有CE CF AF AE ==，.
45ABC ABD ∠=∠=︒ CE CF AF AE ∴==，
得AB CD =
方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得
30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒， 75AMC CAM ∠=∠=︒ AC CM ∴=
ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD =
方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.
10545ACB ABC ∠=︒∠=︒， 30BAC ∴∠=︒
10545BAD ADC ∠=︒∠=︒， 7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，
30CAE ∴∠=︒
75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=︒=，
故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD =
方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ∆≅∆
45N D ∴∠=∠=︒ DE AE EN EC ∴==， DC AN AB ∴==
方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ∆≅∆
45G D ∴∠=∠=︒ AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴==
实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有
PAC BCA ∆≅∆
得AB CP CD ==
方法7 如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有
QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD ==
方法8 如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .
由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得
75DEC DAC ∠=∠=︒ 30ADE ACE ∠=∠=︒
75DEC EDC ∴∠=∠=︒ DC EC AB ∴==
方法9 如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.
方法10 如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,
EC AC ∴=
EDC CBA CD AB ∴∆≅∆=，
方法11 如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.
方法12 如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .
45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC
r D B
∴
==∠∠，（r 为外接圆半径）
∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB =
反思
1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.
2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.
3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法
4、方法
5、方法
6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.
4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.
5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.
6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。