已知距离 x轴原点的零米处， U ( x = 0) = U 1 ，I ( x = 0) = I1
带入到解式中，得： A1 =
1 (U1 + Z C I1 ) 2
A2 =
1 (U1 − Z C I1 ) 2
所以，正弦稳态解 （相量形式）为：
1 1 ⎫ −γ x U ( x ) = (U 1 + Z C I1 )e + (U 1 − Z C I1 )e γ x ⎪ 2 2 ⎪ ⎬ 1 U1 1 U1 ⎪ I ( x) = ( + I 1 ) e −γ x − ( − I1 )e γ x ⎪ 2 ZC 2 ZC ⎭
均匀传输线的方程 也称“电报方程”★
如果电源为正弦量，则：
U = A1 e − γ x + A 2 e γ x A1 − γ x I = e ZC
⎫ ⎪ A2 γ x ⎬ e ⎪ − ZC ⎭
γ = Z 0Y0
ZC = Z0 Y0
为了方便分析传输线问题 大胆假想
⎧U = 正向电压行波 + 反向电压行波 ⎪ ⎨ ⎪ I = 正向电流行波 − 反向电流行波 ⎩
∂u ∂ (u + dx) ∂i ∂u ∂x b点(设流出为正) : −i + (i + dx) + G0 dx(u + dx) + C0 dx =0 ∂x ∂x ∂t ∂u ∂ (u + dx) ∂i ∂u ∂x 约去i，整理得： dx + G0 dxu + G0 dx dx + C0 dx =0 ∂x ∂x ∂t
映射到时域： + ( x, t ) = 2 A1 e −α x cos(ω t − β x +ψ 1) u
正向行波u ( x, t ) = 2 A1 e
+
−α x
cos(ω t − β x +ψ 1) 波形如下：
现场演示 MATLAB动画
1） x不变时（即在均匀线确定的某一点上），正向行波随时间按正弦规 律变化，其振幅为 2 A1 e −α x 。 2） t不变时(即在确定的某一时刻)，正向行波按减幅正弦规律沿线分布。 重要概念：同相位点移动的速度，称“相移速度”，简称“相速 ”
一、如果激励为正弦电源，求正弦稳态解
均匀传输线方程：
∂i ⎧ ∂u ⎪− ∂x = R0i + L0 ∂t ⎪ ⎨ ⎪− ∂ i = G u + C ∂u 0 0 ⎪ ∂x ∂t ⎩
⎧ dU = ( R0 + jωL0 ) I = Z 0 I ⎪− ⎪ dx 相量形式为： ⎨ ⎪− dI = (G + jω C )U = Y I 0 0 0 ⎪ dx ⎩
注意：上式中， γ =
Z 0Y0
ZC =
Z0 Y0
，称为副参数。
它们都是复数，物理意义鲜明（下节课讲）。
必须为
提示求解思路：已知终端边界条件，带公式计算
P 30 × 10 6 W = = 288.6A 解：负载电流有效值 I 2 = 3 U 2 cosϕ (115.5 × 10 )V × 0.9
已知负载为感性，则负载电流相量为
二、正向行波与反向行波
均匀传输线方程的解：
⎧U = A1 e − γ x + A2 e γ x 假想 : U = U + + U − ⎪ A1 − γ x A2 γ x ⎨ e − e ) 假想：I = I + − I − I = ⎪ ZC ZC ⎩ U+ U−
= ZC − ZC
仅仅是为了方便分析问题 假想出来的量★ 均匀线上某点电压=正向电压行波分量+反向电压行波分量
⇒I =− 1 dU Z 0 dx
1 = − (− A1γ e −γ x + A2 γ e γ x ) Z0
回顾：Z 0Y0 = γ
2
⇒ =
Z0 Y0
A1 Z0 Y0
e
−γ x
−
A2 Z0 Y0
A2 e γ x
设 副参数：特征阻抗 Z C =
A1 −γ x A2 γ x = e − e ZC ZC
因此，解形如：
A
思Байду номын сангаас：
在本题中，终端电流 有效值是288.6A； 距终端100m处的电流 有效值为256.2A，反 而小于终端处的电流 有效值，是否合理？
I ( x ′)
*MATLAB编程所得
从整体趋势上说，电流是始端大，终端小。 但是局部有起伏。
始端
l / km
终端
阶段小结与展望★★：
∂i ⎧ ∂u ⎪− ∂x = R0 i + L0 ∂t ⎪ ⎨ ⎪− ∂ i = G u + C ∂u 0 0 ⎪ ∂x ∂t ⎩
U = A1 e − γ x + A 2 e γ x A1 − γ x I = e ZC
⎫ ⎪ A2 γ x ⎬ e ⎪ − ZC ⎭
思考：
Zc的物理意义？
1）已知始端的条件 其中，A A 为待定的复常数，可由边界条件 或 1 2 2）已知终端的条件
来确定：
讨论1）已知始端的电压、电流值，则解的待定系数为：
ω vp = β
讨论2） 假想出的“反向电压行波” U
−
= A2 e −γ x
映射到时域： u − ( x, t ) = 2 A2 e α x cos (ω t + β x + ψ 2 )
ω 思考：相速 v p = β
1）★信号在传输线上有 延迟时间： t 现场演示 MATLAB动画
=
l
νp
2）★高频正弦波行进的快， 低频正弦波行进的慢。 因此——非正弦信号畸变
§18-2 均匀传输线及其方程 §18-2 均匀传输线及其方程
一、何谓“均匀传输线”
a)两线架空线
b) 二芯电缆
c)同轴电缆
习惯上默认x的原点在线的始端
二、何谓“原参数”★ R0--来线+回线，单位长度的寄生电阻密度，其单位为Ω/m； L0--来线+回线，单位长度的寄生电感密度，其单位H/m； C0--来回两线之间，单位长度的寄生电容密度，其单位为F/m； G0--来回两线之间，单位长度的寄生电导密度（对应漏电流），其单位为S/m。 三、均匀传输线 的分布参数电路模型★： 设想均匀传输线是由无穷小尺寸的电路单元组成： 每一单元的长度为dx，具有电阻R0dx和电感L0dx， 具有电容C0dx和电导G0dx。
授 课 内 容 授 课 内 容
§18.1 §18.2 §18.3
分布参数电路 (概述) 均匀传输线及其方程 均匀传输线方程的正弦稳态解
重点概念：正向行波与反向行波
波的反射 与终端匹配的均匀传输线
§18.4 §18.5
均匀传输线的原参数和副参数 无损耗传输线
§18-1 分布参数电路（概述） §18-1 分布参数电路（概述）
∂i ∂u 约去二阶无穷小量，得： ∂x dx + G0 dxu + C0 dx ∂t = 0 ∂i ∂u 约去dx，得： + G0u + C0 =0 ∂x ∂t
∂i ⎧ ∂u − = R0i + L0 ⎪ ∂x ⎪ ∂t ⇒ ⎨ ⎪− ∂ i = G u + C ∂u 0 0 ⎪ ∂x ∂t ⎩
若已知边界条件，则 可解该偏微分方程。
讨论2）已知终端的电压、电流值，则解的待定系数为：
已知x轴总长为 l , 在 终点处， U ( x = l ) = U 2
, I (x = l) = I2
1 A2 = (U2 − ZC I 2 )e−γ l 2
1 带入到解式中，得： A1 = (U2 + ZC I 2 )eγ l 2
所以，正弦稳态解 （相量形式）为：
内容7 均匀传输线
（见书第18章）
均匀传输线是最基本最典型的分布参数电路，在电子、 通信、电力传输等工程领域有着广泛的应用。 学习目的：1）理解分布参数电路的基本分析方法； 2）理解长距离输电系统和高频集成电路的传输损 耗、信号延迟和畸变现象产生的原因。
王馨梅
第18章 均匀传输线（的正弦稳态分析） 第18章 均匀传输线（的正弦稳态分析）
一、何时建立“分布参数”电路模型：
不满足电磁波波长<<电路几何尺寸， 1、电路的工作频率很高时 2、电路的尺寸很大时 二、分布参数电路的基本特征： ①电参数分布在其占据的所有空间位置上； ②信号传输需要时间，信号传输线长度直接影响着信号的特 性，且信号在传输过程中可能产生畸变。 结论：电压和电流不仅是时间的函数，还是空间的函数，所以电路 方程为关于时间变量（t）、空间变量（x,y,z）的偏微分方程。 典型的两种情况有：
均匀线上某点电流=正向电流行波分量—反向电流行波分量
讨论1） 假想出的“正向电压行波”
U = A1e
+
−γ x
传播常数 γ = α + jβ
设：A1 = A1 e jψ 1
⇒ U + = A1 e jψ 1 × e − (α + jβ ) x = A1 e −α x × e j ( − β x +ψ 1 )
讨论3）同理，假想出“正向电流行波”、“反向电流行波”
重要概念的重申：
⎧U = A1 e − γ x + A2 e γ x 假想 : U = U + + U − ⎪ A1 − γ x A2 γ x ⎨ e − e ) 假想：I = I + − I − I = ⎪ ZC ZC ⎩ U+ U−
∂i ∂u 微观看回路 ( 沿顺时针电压升为正 )： u − R0 dxi − L0 dx − (u + dx ) = 0 ∂t ∂x ∂i ∂u 约去 u，再约去 dx ⇒ − R0 i − L0 − =0 ∂t ∂x