有



式中：第一项是 函数，表示直接透射光经透镜会 聚在像面中心产生的亮点；第二项是物分布的自相关 函数，形成焦点附近的一种晕轮光；第三项是原始像 的复振幅，中心位于反射坐标系的（0，b）处；第四 项是共轭像的复振幅，中心位于反射坐标系的（0，-b） 处，第三、四项都是实像。 设物体在y方向上的宽度为 ，则第二项自相关函数 y 的宽度为 ，原始像和共轭像的宽度均为 ，故要 y 2 y 3 使再现像不受晕轮光的影响，必须使 。 b y 2 安排光路时应保证这一条件。
5.6.1 傅立叶变换全息图

傅立叶变换全息图不是记录物体光波本身，而 是记录物体光波的傅立叶频谱。利用透镜的傅 立叶变换性质，将物体置于透镜的前焦面，在 照明光源的共轭像面位置就得到物光波的傅立 叶频谱。在引入参考光与之干涉，通过干涉条 纹的振幅和相位调制，在干涉图样中就记录了 物光波傅立叶变换光场的全部信息，包括傅立 叶变换的振幅和相位。这种干涉图称为傅立叶 变换全息图。
z i
为正表示由点 发出的发散球面波， 为负 zi xi , yi , zi 表示向点 会聚的球面波 。将它们含x，y的 xi , yi , zi 二次项和一次项系数与（5.5.10）式和（5.5.11）式比 较，可确定像点坐标

式中，上面的一组符号适用于分量波U3，下面的一组 符号适用于U4。当 为正时，再现像是虚像，位于 zi 全息图的左侧；当 为负时，再现像是实像，位于 全息图的右侧。z i
实现傅立叶变换还可采用波面波照明方式，使 物体置于透镜的前焦面，在点源的共轭像面上 得到物光分布的傅立叶变换。用倾斜入射的平 面波作为参考光波，也能记录傅立叶变换全息 图。 根据完全相同的理由，也可以用球面波照射全 息图，利用透镜进行逆傅立叶变换，在点源的 共轭像面上实现傅立叶变换全息图的再现。图 5.6.2（a），（b）给出了采用这种方式的记录 和再现光路。 应该说明的是：两种记录和再现的方法都是独 立的，例如我们可以采用平行光记录入射记录， 球面波照明再现；反过来也一样。
下面将阐明其原理： 为了研究这类全息图的性质，我们仍要用到成像过程 的线性特性，但这次是考虑成像系统对单个物点的响 应，而不是对一个平面物光束的响应，用 和 xr , y r 各自代表参考光束和物光束的点源的坐标， x0 , y0 它们在乳胶上对应复振幅分布为


因此曝光时的入射光强为

r0 x0 , y0 b

于是在全息图平面上的参考光场分布为

这样，在线性记录条件下，全息图的复振幅透过率为


上式与（5.6.3）式所表示的傅立叶变换全息图的透过 率完全相同，并且球面参考波的二次相位因子抵消了 物体频谱的相位弯曲。 因此，尽管到达全息图平面的物光场不是物体准确的 傅立叶变换，但由于参考光波的相位被补偿，我们仍 然能得到物体的傅立叶变换全息图，故称为准傅立叶 变换全息图。
若不考虑记录过程的光路按排，则准傅 立叶变换全息图与傅立叶变换全息图具 有相同的透过率，因此再现方式也相同。 从上面的结果中，我们得到一个启示： 参考光波的 形式提供了一种额外的灵活 性，我们甚至可以采用空间调制的参考 光来记录一个全息图。

5.6.3 无透镜傅立叶变换全息图

下面我们讨论另一种记录光路，如下图所示，参考光s 束是从和物体共面的一个点发出的一个球面波。用这 种特殊光路所记录的全息图可称为无透镜傅立叶变换 全息图
可见，此时得到的两个像点位于全息图对称位置，一 个实象，一个虚像。 （4）如果物和参考点位于z轴上，即 x0 xr y0 yr 0 这时在线性记录的全息图中与（5.5.10）和（5.5.11） 式相对应的透过率中，重要的两项是


这时透过率的峰值出现在其相位为 2 由（5.5.21）式得

全息图透射项中， U 3 t3C ( x, y) 我们感兴趣的波前。
U和 4 t 4C ( x, y )
是


同理

（5.510）式和（5.5.11）式的相位中，x和y的二次项 是傍轴近似的球面波的相位因子，给出了再现像在z方 向的焦点。X和y的一次项是倾斜传播的平面波的相位 因子，给出了再现像离开z轴的距离。因此它们给出了 再现光波的几何描述：一个向像点 会聚或由 xi , yi , zi 发散的球面波。这些球面波在xy平面 像点 xi , yi , zi 上的光场傍轴近似具有下列标准形式

这说明分量波U4产生的虚像与轴上原始物点完全重合， 另一个像点的虚实由 的符号决定。当照明光源与参 zil 考光源为共轭时，有
这说明分量波U3产生一个与原始物点位置对称的实像， 另一个像点的虚实仍然由 的符号决定。 zi 2 其二，同轴全息图也可能用轴外照明光源再现。设照 明光源坐标是 ，这时像点坐标是 x , y , z
dy i 像的横向放大率可以用 dy 0
表示， 所以波前再现过程产生的横向放大率为
dx i 和 dx 0

像的纵向放大率可以用 dz i
dz 0
表示，所以
5.5.2 几种特殊情况的讨论
x p xr （1）当再现光波与参考光波完全一样时，即 y p yr , z p zr , 1 2 ，由公式（5.5.13）~（5.5.15）
即
整数倍的地方，


可见，此时所形成的干涉条纹是一族同心圆，圆心位 于原点，为同轴全息图，其半径

同轴全息图的再现可以分为两种情况： 其一，在轴上照明光源再现的情况下， xp y p 0 时像点的坐标是
，这

这表示再现所得到的两个像均位于z轴上。当照明光源 与参考光源完全相同时，即 时，则有 z p zr , 2 1
及 (5.5.19)
M=1 （5.5.19）式表明，分量波U3产生物点的一个实像， 像点和物点的空间位置相对于全息图镜面对称。因此， 观察者看到的是一个与原物形状相同，但凸凹互易的 赝视实像。分量U4可以产生物点的虚象，也可以产生 物点的实像，这取决于 的正负。 z
i2


(3)参考光波和再现光波都是沿z轴传播的完全一样的平 面波，即 xr x p 0, yr y p 0, zr z p , 1 2 则由公式（5.5.13）~（5.5.15）可得

以上两式中的 为记录时所用的波长。记录平面上 1 的复振幅分布为

记录平面上的光强分布为

通常需保持记录过程的线性条件，即显影定影后底片 的振幅透过率正比于曝光量，即

在透过率中最重要的两项是

在再现过程中，全息底片由位于 的点源发出 xp , y p , z p 的球面波照明，再现光波波长为 ，如图5.5.1（b） 2 所示，可记为


实现傅立叶变换可以采用平行光照明和点源照明两种 基本方式，这里我们以平行光照明为例进行分析： 记录光路见图5.6.1（a）。设物光分布为g x0 , y0 ， 则物光波的频谱公式为

x / f , y / f , ,, 式中： 是空间频率；f是透镜焦 距；x，y是后焦面上的位置坐标。平面参考光是由位 于物光平面上的点（0，-b）处的点源产生的。点源的 r x0 , y0 r0 0, y0 b 复振幅可用 函数表示为 ， 它在后焦面上形成的场分布为


后焦面上的总的光场分布为
这样，记录时的曝光强度为

在线性记录条件下，全息图的复振幅透过率为

假定用振幅为 的平面波垂直照射全息图，则透射 C0 光波的复振幅为
式中，第三项是原始物的空间频谱，第四项是共轭频 谱，这两个谱分别由两列平面波为载波向不同方向传 播。这样，就以离轴全息的方式再现了物光波的傅立 叶变换。 为了得到物体的再现像，必须对全息图的透射光场作 一次逆傅立叶变换。 在全息图后方放置透镜，使全息图位于透镜前焦面上， 在透镜后焦面上将的到物体的再现像。再现光路如 5.6.1（b）所示。 由于透镜只能做正变换，所以这里取反演坐标，并假 定再现和记录透镜的焦距相同，于是后焦面上的光场 分布为

z0

设投射到记录平面上的物光波的振幅为O，考虑到一 常数相位因子，写成 。到达记录平面的相位以坐 O 标原点0为参考点来计算，并作傍轴近似，即假设 x2 y2 , x02 y02 ，于是物光波的相位可简化为 2

于是，记录平面上的物光波可写成

同理，记录平面上的参考光可写成

由坐标为 的物点发出的光波与参考光波相干涉， x0 , y0 形成一个正弦型条纹图样，其空间频率为


因此，对于这种特殊记录光路，物点坐标和全息图上 的空间频率之间具有一一对应的关系，这种变换关系 正是傅立叶变换运算的特征，但没有用变换透镜就完 成了，所以称为无透镜傅立叶变换全息图。 由（5.6.11）式可见，物点离参考点越远，空间频率 越高。粗略地说，若 表示乳胶能分辨的最高空间 max 频率，那么只有坐标满足条件

p p p

注意到 ，说明再现的两个像点位于通过 xi / yi x p / y p 全息图原点的倾斜直线上。这表明，即使用轴外照明 光源再现，同轴全息图产生的各分量衍射波仍然沿同 一方向传播，观察是互相干扰。图5.5.2给出了电源同 轴全息图再现的情况。
5.6 傅立叶变换全息图

物体的信息由物光波所携带，全息记录了物 光波，也就记录下了物体所包含的信息。物 体信号可以在空域中表示，也可以在频率中 表示，也就是说，物体或图象的光信息既表 现在它的物体光波中，也蕴含在它的空间频 谱内。因此，用全息方法既可以在空域中记 录物光波，也可以在频域中记录物频谱。物 体或图象频谱的全息记录，称为傅立叶变换 全息图。

的那些物点的像，才能在再现中出现。