（4）1 A A .
（5） A 0 当且仅当 0 或 A 0 .
3. 矩阵的乘法
定义3
设
A
aij
，B
ms
bij
sn
规定:矩阵 A与矩阵 B 的乘积是一个m n矩阵
C cij mn
其中
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
aikbkj ( i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n ) k 1
其中 A aij ， A 称为矩阵 A 的负矩阵.
由此可规定矩阵的减法为
A B AB .
2. 数与矩阵相乘
定义2 数 与矩阵A 的乘积记作 A或 A
规定为
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
运算规律(设 A，B 都是 m n 矩阵，, 是数)
（1） A A . （2） A A A . （3） A B A B .
设 f (x) a0 xm a1xm1 am1x am
为m次多项式，A 为n 阶方阵，则
f ( A) a0 Am a1Am1 am1A amE
仍为一个n 阶方阵，称 f A 为方阵 A的多项式
其中
1 0
E
0
x Ay , y Bz .
于是 x A(Bz) (AB)z .
即
x1 2 0 1 3 1 0 z1
x2
2
3
2
2
0
1
z2
x3 4 1 5 0 1 3 z3
6 1 3 z1
12
4
9
z2
10 1 16 z3
即
x1 6z1 z2 3z3
由于矩阵的乘法适合结合律， 所以方阵的幂满足：
（1） Ak Al Akl （2） (Ak )l Akl (k,l为正整数)
由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于
同阶方阵 A 和 B ，一般说来 ( AB)k Ak Bk
但是，如果方阵 A 与 B 可交换，即 AB BA
则
( AB)k Ak Bk
x
y
xn
ym
利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩 阵形式:
y Ax .
利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以 方便地连续施行线性变换．
例5 已知两个线性变换
x1 2 y1
y3
x2
2 y1
3 y2
2 y3
x3
4 y1
y2 5y3
y1 3z1 z2
y2
2z1
z3
1
A
2
3
求 AB , BA .
B 4 5 6
解
1
1 4 15 1 6
ABLeabharlann 2456
24
25
2
6
3
3 4 35 3 6
4 5 6
8
10 12
12 15 18
1
BA 4
5
6
2
4
1
5
2
6
3
3
32
显然 AB BA .
例2
1 2 3
A
3
0
1
4 0 1
B
2
1
结合律和分配律：
（1） ABC ABC . （2） AB A B AB (为数）. （3） AB C AB AC ,
B C A BA CA .
例4 设变量 y1, y2 , , ym 均可表示成变量
x1, x2 , , xn 的线性函数，即
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
a1n xn a2n xn
ym am1x1 am2 x2 amn xn
其中 aij为常数(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) .
上式称为从变量 x1，x2， ，xn到变
量 y1，y2， ，ym的线性变换.
x1
y1
令 A aij
并把此乘积记作 C AB .
矩阵的第i行第 j列的元 cij 就是A 的第 i 行与 B的第 j列的乘积
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）A 的列
数等于第二个矩阵（右矩阵）B 的行数时， 乘积 AB 才是有意义的；并且AB的行数等 于第一个矩阵A 的行数，AB 的列数等于第 二个矩阵 B的列数．
例1
y3
z2 3z3
求 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的线性变换.
解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为
2 0 1 3 1 0
A
2
3
2
B
2
0
1
4 1 5
0 1 3
记
x1
x
x2
,
x3
y1
y
y2
,
y3
z1
z
z2
,
z3
则上述两个线性变换可分别写成为 :
第三章 矩阵的运算
矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
一、矩阵运算 只有当两个矩阵是同型矩阵时，
1. 矩阵的加法 这两个矩阵才能进行加法运算
定义1 设有两个m n 矩阵A aij 和
B bij ，那么矩阵 A与矩阵 B的和记作
A B 规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
运算规律 （设 A ，B ，C 都是 m n 矩阵）
（1） A B B A . （2）(A B) C A (B C) . （3） A ( A) 0 .
x2
12z1 4z2
9z3
x3 10z1 z2 16z3
这就是由 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的线性变换.
4. 方阵的幂
设 A是 n阶方阵，定义 A1 A, A2 A1 A1, , Ak1 Ak A1 其中 k为正整数 显然，Ak就是 k个A 连乘． 只有 A是方阵时，它的幂才有意义．
1
4 2
0 0
0 0
显然 AB BA .
总之，一般说来，AB BA
即矩阵的乘法不满足交换律．
不过，在有些情况下，也可能有 AB BA
例如：
A
1 0
1 1
B
x1 0
x2
x1
不难验证：AB
BA
x1 0
x1 x2
x1
一般地，如果矩阵 A，B的乘积与次序无关 即 AB BA，称矩阵A ，B 可交换
1
1 2 2
求 AB ，并问 BA是否有意义？
解
4 0 1
1
AB
3
2 0
3
1
2 1
1 2
1
2
5 11
8 2
9
5
显然 BA无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
解
2 4 2 4 16 32
AB
1
2
3
6
8
16
BA
2 3
4 2
6