i 1
(2)连续函数空间C[a,b]:令
C[a,b]={x(t)|x(t)是[a,b]上的连续函数}
则称C[a,b]为连续函数空间，在C[a,b]上定义
d(x,y)=max|x(t)-y(t)|
(3)平方可积函数空间L2(R)： 令
L2 (R) {x(t) | |x(t) |2 dt<} R
则称 L2(R) 为平方可积函数空间 ，定义距离：
欧氏距 0.1217 0.1612 0.1720 0.2280 0.1612 0.2600 0.3162 0.4817 0.1020 0.0825 0.1612 0.0566 0.1442 0.1970 0.3945 0.1800 0.2600 0.0632
绝对距 0.1400 0.2200 0.2400 0.3200 0.1800 0.3400 0.4000 0.6800 0.1200 0.1000 0.1800 0.0800 0.2000 0.2600 0.5400 0.1800 0.2600 0.0800
d(x, y) { |x(t) y(t) |2 dt}1/2 x, y L2(R) R
(4)平方可和离散序列空间 l 2 ：令
l 2 { x ( x1 , x2 , , xn , ) | |xi |2 } i1
则称l 2平方可和离散序列空间，定义距离： d( x, y) [ |xi yi |2 ]1/ 2 i1
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运行结果出现在command界面。
Mat lab
一. 矩阵与向量的基本运算
1.矩阵（向量、数组）的输入方法 矩阵的输入利用[ ]，采取分行输入方法，
每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.
1 5 1 0 1
例1.矩阵
A= 2
3
6 7
0 1
1 0
1 1
例8. 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长数据如下：
Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08) 计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离
d1=(pdist(Apf))’; d2=(pdist(Apf,'cityblock'))’; d=[d1,d2,d3] d3=pdist(Apf,'mahal'))’;
表一.Apf蠓虫之间的距离
Apf蠓虫 欧氏距离 绝对距离
d12
0.1844
0.2200
d13
0.1000
0.1400
d14
0.2506
其中 V是一个实对称正定矩阵，通常取样
本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.
y
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
)
A
1 0 t 2
| t 1 | | t 2 |
| t 1 | 41,| t 2 | 3 2
x | t 1 | 4,| t 2 | 3
1
2
以上距离，在Matlab (6.)中有命令: pdist
C
2 m
列
各列表示X中各行向量按如下顺序的距离
(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)
三. 向量的均值、方差、协方差与相关矩阵
设A为m n矩阵,则有：
mean(A) — A中各列向量的均值 Var(A) — A中各列向量的方差 Std(A) — A中各列向量的标准差 Cov(A) — A中各列向量的协方差矩阵 Corrcoef(A) — A中各列向量的相关矩阵 如果计算A中各行向量的均值、方差、协方 差矩阵，相关矩阵，只需先将A转置即可.
马氏距 1.4423 2.3963 1.4225 1.5517 2.2078 2.6110 3.3635 3.3694 1.1705 0.6601 1.4345 0.8277 1.2266 1.9404 2.6612 1.7814 2.5731 0.4756
Af蠓 d37 d38 d39 d45 d46 d47 d48 d49 d56 d57 d58 d59 d67 d68 d69 d78 d79 d89
7 8 0
2 1 1
求：AB，B-1，B-AT，|A|
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];
a=A*B,b=inv(B),c=B-A’,d=det(A)
a = 9 7 8 b = -1/4 1/4 -3/4 c = 0 -2 -6
21 19 20 3/4 -1/4 -1/4 -1 -4 -6
n
d( , ) | xi yi | i 1
Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每 个行向量与B中每个列向量之间绝对距离， A的行数必须等于B的列数.
例7. 求例6中向量之间的绝对值距离.
解： mandist(a,c')=4； mandist(a,b')=8；
mandist(c,b')=12
B= 15101 37101 48011
解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)] 3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算 A+B，A-B，A*B，A.^2，A’, inv(A),det(A) 分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆
以及A的行列式
1 2 3
1 2 1
例5. 已知 A 4 5 6 B 1 1 2
0.0200
d46
0.0566
0.0800
d56
0.0447
0.0600
马氏距离
2.5626 0.9883 2.4942 2.5318 2.5478 2.2507 1.5470 2.0430 3.0777 1.6534 1.5873 1.6025 0.5129 1.6616 1.1764
Af蠓 d12 d13 d14 d15 d16 d17 d18 d19 d23 d24 d25 d26 d27 d28 d29 d34 d35 d36
若 a ( x1, x2 ,..., xn ),则norm(a)
n
xi2
i 1
例6 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b的范数
解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740
练习：对例6计算：a,b夹角的余弦
解法一： dot(a/norm(a),b/norm(b)) 解法二： dot(a,b)/norm(a)/norm(b) =0.9164 思考：a,b,c三个向量那两个更接近？
设样本X是m个n维向量所组成的矩阵，则有：
Pdist(X) — 样本X中各n维向量的欧氏距离
Pdist(X,’cityblock’) — 各n维向量的绝对距离
Pdist(X,’Minkowski’，r) — 闵可夫斯基距离
Pdist(X,’mahal’) — 各n维向量的马氏距离
注意：
X
是m
n
矩阵而pdist(X)是一行
3. 向量的距离与计算 (1)欧氏距离： ( x1 , x2 , ..., xn ); ( y1 , y2 , ..., yn )
n
d( , ) ( xi yi )2 i 1
Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向 量与B中每个列向量之间欧氏距离，A的行 数必须等于B的列数.
3 7 1 0 4 8 0 1
解：A1=A(1,:) 表示矩阵A的第一行；
A2=A(:,1) 表示矩阵A的第一列；
练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？
例3. 求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.
解：首先健入a=[1,3,4];然后健入 B=A(a,:)即可
其中a=[1,3,4]称为索引向量.
解: Apf=[1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2; 1.30,1.96] ;
Af=[1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82; 1.38,1.90 ; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]；
例7. a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离 解：dist(a,b’)=4.6904, dist(a,c’)= 2.8284
dist(c,b’)= 7.3485
(2)绝对距离： ( x1, x2 ,..., xn ); ( y1, y2 ,..., yn )
Matlab输入：
4 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];
注：; 分号的作用在于运算结果不显示.
n维行(列)向量可以看成是一个行(列) 矩阵， 因此向量的输入和矩阵一样.
2.矩阵的合成与分解
1 5 1 0
例2.矩阵A= 2 6 0 1 求A的第一行与第一列
二. 度量空间与距离 1.度量空间 定义：设X是任一集合，如果X中任意两个元素x 与y，都对应一个实数d(x,y)，且满足： (1)非负性: d(x,y)≥0,当且仅当x=y时,d(x,y)=0
(2)对称性: d(x,y)= d(y, x)
(3)三角不等式:对任意的x,y,z∈X，有