笛卡儿坐标系
（在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。

例如，位置向量通常用表示；而其大小则用来表示。

）
在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。

参阅图1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。

在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。

在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。

几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。

例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。

圆圈可以用公式表达为：。

图1
历史
笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。

1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。

这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。

为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。

有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。

笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

二维坐标系统
参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O ，既有“零”的意思，又是英
语“Origin”的首字母。

每一个轴都指向一个特定的方向。

这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。

通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。

两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。

如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。

这和照镜子时左右对掉的性质有关。

图2
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。

假设，我们可以刻画数值于坐标轴。

那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。

这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。

称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。

虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。

按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。

这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。

任何一个点P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。

只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。

从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。

同样地，可以找到点P 的y-坐标。

这样，我们可以得到点P 的直角坐标。

例如，参阅图 3 ，点P 的直角坐标
是。

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。

参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为，，，。

依照惯例，象限的两个坐标都是正值；象限的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限的两
个坐标都是负值的；象限的x-坐标是正值，y-坐标是负值。

所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限编到象限。

图3
三维坐标系统
在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。

假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。

这z-轴与x-轴，y-轴相互正交于原点。

在三维空间的任何一点P ，可以用直角坐标来表达其位置。

例如，参阅图5 ，两个点P 与Q 的直角坐标分别为与。

三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant) 。

与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。

第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。

图 4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。

红色平面的。

黄色平面的。

蓝色平面的。

z-轴是竖直的，以白色表示。

x-轴以绿色表示。

三个坐标曲面相交于点P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为。

图 5 - 三维直角坐标系。

y-轴的方向是远离读者。

图 6 - 三维直角坐标系。

x-轴的方向是亲近读者。

取向
二维空间
直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。

称包含y-轴的直线为y-线。

在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。

可是，我们仍旧必须
选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。

参阅图1 。

通常，我们选择的取向是，正值的x-轴横地指向右方，正值的y-轴纵地指向上方。

这种取向称为正值取向，标准取向，或右手取向。

右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从x-轴指向y-轴。

另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向，或左手取向：将一只半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从y-轴指向x-轴。

不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。

三维空间
直角坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴必须相互垂直。

称包含z-轴的直线为z-线。

在三维空间里，当我们设定了x-轴，y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了z-线的方向。

可是，我们仍旧必须选择，在z-线以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。

右手坐标系又称为标准坐标系，或正值坐标系。

图7
右手坐标系这名词是由右手定则而来的。

先将右手的手掌与手指伸直。

然后，将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。

再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。

则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴。

同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

图8 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。

因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。

指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。

平行于xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从z-轴前面经过，表示从x-轴往y-轴的旋转方向。

图8 –左边是左手取向，右边是右手取向。